Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7567 / 1743
↖ ↑ ↗
← N 71.314876°
E152.534180°		 ← 1 565.47 m → N 71.314876°
E152.578125°		 →
↑
1 565.99 m
↓
↑
1 565.99 m
↓
N 71.300793°
E152.534180°		 ← 1 566.61 m →
2 452 406 m²		 N 71.300793°
E152.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92376708984375 y=0.21282958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92376708984375 × 213)
    floor (0.92376708984375 × 8192)
    floor (7567.5)     		tx = 7567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21282958984375 × 213)
    floor (0.21282958984375 × 8192)
    floor (1743.5)     		ty = 1743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7567 / 1743 ti = "13/7567/1743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7567/1743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7567 ÷ 213
    7567 ÷ 8192     		x = 0.9237060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1743 ÷ 213
    1743 ÷ 8192     		y = 0.2127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9237060546875 × 2 - 1) × π
    0.847412109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.66222366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2127685546875 × 2 - 1) × π
    0.574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.80472839689587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.66222366} λ = 2.66222366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80472839689587))-π/2
    2×atan(6.07832033363604)-π/2
    2×1.40773786508906-π/2
    2.81547573017813-1.57079632675     		φ = 1.24467940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.66222366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24467940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.314876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7567 KachelY 1743 2.66222366 1.24467940 152.534180 71.314876
    Oben rechts KachelX + 1 7568 KachelY 1743 2.66299065 1.24467940 152.578125 71.314876
    Unten links KachelX 7567 KachelY + 1 1744 2.66222366 1.24443360 152.534180 71.300793
    Unten rechts KachelX + 1 7568 KachelY + 1 1744 2.66299065 1.24443360 152.578125 71.300793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24467940-1.24443360) × R
    0.000245800000000074 × 6371000     		dl = 1565.99180000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24467940-1.24443360) × R
    0.000245800000000074 × 6371000     		dr = 1565.99180000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.66222366-2.66299065) × cos(1.24467940) × R
    0.000766989999999801 × 0.320367042952561 × 6371000     		do = 1565.47140572443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.66222366-2.66299065) × cos(1.24443360) × R
    0.000766989999999801 × 0.320599878012355 × 6371000     		du = 1566.60915268179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24467940)-sin(1.24443360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320367042952561-0.320599878012355)×R²
    abs(2.66299065-2.66222366)×0.000232835059793879×R²
    0.000766989999999801×0.000232835059793879×6371000²
    0.000766989999999801×0.000232835059793879×40589641000000     		ar = 2452406.24804895m²