Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75666 / 56527
↖ ↑ ↗
← N 24.008835°
E 27.822876°		 ← 279 m → N 24.008835°
E 27.825623°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
N 24.006326°
E 27.822876°		 ← 279.01 m →
77 838 m²		 N 24.006326°
E 27.825623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577289581298828 y=0.431270599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577289581298828 × 217)
    floor (0.577289581298828 × 131072)
    floor (75666.5)     		tx = 75666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431270599365234 × 217)
    floor (0.431270599365234 × 131072)
    floor (56527.5)     		ty = 56527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75666 / 56527 ti = "17/75666/56527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75666/56527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75666 ÷ 217
    75666 ÷ 131072     		x = 0.577285766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56527 ÷ 217
    56527 ÷ 131072     		y = 0.431266784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577285766601562 × 2 - 1) × π
    0.154571533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48560079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431266784667969 × 2 - 1) × π
    0.137466430664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.431863528677086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48560079} λ = 0.48560079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431863528677086))-π/2
    2×atan(1.5401249179335)-π/2
    2×0.994914775108208-π/2
    1.98982955021642-1.57079632675     		φ = 0.41903322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48560079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.822876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41903322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.008835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75666 KachelY 56527 0.48560079 0.41903322 27.822876 24.008835
    Oben rechts KachelX + 1 75667 KachelY 56527 0.48564873 0.41903322 27.825623 24.008835
    Unten links KachelX 75666 KachelY + 1 56528 0.48560079 0.41898943 27.822876 24.006326
    Unten rechts KachelX + 1 75667 KachelY + 1 56528 0.48564873 0.41898943 27.825623 24.006326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41903322-0.41898943) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dl = 278.986089999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41903322-0.41898943) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dr = 278.986089999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48560079-0.48564873) × cos(0.41903322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913482728186257 × 6371000     		do = 279.001138233324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48560079-0.48564873) × cos(0.41898943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913500544476431 × 6371000     		du = 279.006579786934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41903322)-sin(0.41898943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913482728186257-0.913500544476431)×R²
    abs(0.48564873-0.48560079)×1.78162901736112e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78162901736112e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78162901736112e-05×40589641000000     		ar = 77838.1957324868m²