Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75664 / 56530
↖ ↑ ↗
← N 24.001308°
E 27.817383°		 ← 279.02 m → N 24.001308°
E 27.820130°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
N 23.998799°
E 27.817383°		 ← 279.02 m →
77 843 m²		 N 23.998799°
E 27.820130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577274322509766 y=0.431293487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577274322509766 × 217)
    floor (0.577274322509766 × 131072)
    floor (75664.5)     		tx = 75664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431293487548828 × 217)
    floor (0.431293487548828 × 131072)
    floor (56530.5)     		ty = 56530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75664 / 56530 ti = "17/75664/56530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75664/56530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75664 ÷ 217
    75664 ÷ 131072     		x = 0.5772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56530 ÷ 217
    56530 ÷ 131072     		y = 0.431289672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5772705078125 × 2 - 1) × π
    0.154541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48550492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431289672851562 × 2 - 1) × π
    0.137420654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.431719717978226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48550492} λ = 0.48550492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431719717978226))-π/2
    2×atan(1.53990344741802)-π/2
    2×0.994849088891988-π/2
    1.98969817778398-1.57079632675     		φ = 0.41890185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48550492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.817383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41890185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.001308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75664 KachelY 56530 0.48550492 0.41890185 27.817383 24.001308
    Oben rechts KachelX + 1 75665 KachelY 56530 0.48555286 0.41890185 27.820130 24.001308
    Unten links KachelX 75664 KachelY + 1 56531 0.48550492 0.41885806 27.817383 23.998799
    Unten rechts KachelX + 1 75665 KachelY + 1 56531 0.48555286 0.41885806 27.820130 23.998799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41890185-0.41885806) × R
    4.37900000000435e-05 × 6371000     		dl = 278.986090000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41890185-0.41885806) × R
    4.37900000000435e-05 × 6371000     		dr = 278.986090000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48550492-0.48555286) × cos(0.41890185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913536171801656 × 6371000     		do = 279.017461289105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48550492-0.48555286) × cos(0.41885806) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.91355398283664 × 6371000     		du = 279.022901237645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41890185)-sin(0.41885806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913536171801656-0.91355398283664)×R²
    abs(0.48555286-0.48550492)×1.78110349836613e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78110349836613e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78110349836613e-05×40589641000000     		ar = 77842.7494142595m²