Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75662 / 56710
↖ ↑ ↗
← N 23.548881°
E 27.811890°		 ← 279.93 m → N 23.548881°
E 27.814636°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
N 23.546363°
E 27.811890°		 ← 279.94 m →
78 383 m²		 N 23.546363°
E 27.814636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577259063720703 y=0.432666778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577259063720703 × 217)
    floor (0.577259063720703 × 131072)
    floor (75662.5)     		tx = 75662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432666778564453 × 217)
    floor (0.432666778564453 × 131072)
    floor (56710.5)     		ty = 56710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75662 / 56710 ti = "17/75662/56710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75662/56710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75662 ÷ 217
    75662 ÷ 131072     		x = 0.577255249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56710 ÷ 217
    56710 ÷ 131072     		y = 0.432662963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577255249023438 × 2 - 1) × π
    0.154510498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48540905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432662963867188 × 2 - 1) × π
    0.134674072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.423091076046616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48540905} λ = 0.48540905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423091076046616))-π/2
    2×atan(1.52667333300653)-π/2
    2×0.990900917032615-π/2
    1.98180183406523-1.57079632675     		φ = 0.41100551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48540905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.811890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41100551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.548881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75662 KachelY 56710 0.48540905 0.41100551 27.811890 23.548881
    Oben rechts KachelX + 1 75663 KachelY 56710 0.48545698 0.41100551 27.814636 23.548881
    Unten links KachelX 75662 KachelY + 1 56711 0.48540905 0.41096156 27.811890 23.546363
    Unten rechts KachelX + 1 75663 KachelY + 1 56711 0.48545698 0.41096156 27.814636 23.546363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41100551-0.41096156) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41100551-0.41096156) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48540905-0.48545698) × cos(0.41100551) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.916719553591133 × 6371000     		do = 279.931343825129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48540905-0.48545698) × cos(0.41096156) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.916737112106414 × 6371000     		du = 279.936705528999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41100551)-sin(0.41096156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916719553591133-0.916737112106414)×R²
    abs(0.48545698-0.48540905)×1.75585152816238e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.75585152816238e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.75585152816238e-05×40589641000000     		ar = 78383.0525626831m²