Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75661 / 56709
↖ ↑ ↗
← N 23.551399°
E 27.809143°		 ← 279.98 m → N 23.551399°
E 27.811890°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
N 23.548881°
E 27.809143°		 ← 279.99 m →
78 380 m²		 N 23.548881°
E 27.811890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577251434326172 y=0.432659149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577251434326172 × 217)
    floor (0.577251434326172 × 131072)
    floor (75661.5)     		tx = 75661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432659149169922 × 217)
    floor (0.432659149169922 × 131072)
    floor (56709.5)     		ty = 56709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75661 / 56709 ti = "17/75661/56709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75661/56709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75661 ÷ 217
    75661 ÷ 131072     		x = 0.577247619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56709 ÷ 217
    56709 ÷ 131072     		y = 0.432655334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577247619628906 × 2 - 1) × π
    0.154495239257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.48536111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432655334472656 × 2 - 1) × π
    0.134689331054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.423139012946236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48536111} λ = 0.48536111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423139012946236))-π/2
    2×atan(1.52674651874698)-π/2
    2×0.990922889168835-π/2
    1.98184577833767-1.57079632675     		φ = 0.41104945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48536111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.809143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41104945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.551399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75661 KachelY 56709 0.48536111 0.41104945 27.809143 23.551399
    Oben rechts KachelX + 1 75662 KachelY 56709 0.48540905 0.41104945 27.811890 23.551399
    Unten links KachelX 75661 KachelY + 1 56710 0.48536111 0.41100551 27.809143 23.548881
    Unten rechts KachelX + 1 75662 KachelY + 1 56710 0.48540905 0.41100551 27.811890 23.548881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41104945-0.41100551) × R
    4.39399999999646e-05 × 6371000     		dl = 279.941739999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41104945-0.41100551) × R
    4.39399999999646e-05 × 6371000     		dr = 279.941739999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48536111-0.48540905) × cos(0.41104945) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916701997300829 × 6371000     		do = 279.984385885224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48536111-0.48540905) × cos(0.41100551) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916719553591133 × 6371000     		du = 279.989748028182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41104945)-sin(0.41100551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916701997300829-0.916719553591133)×R²
    abs(0.48540905-0.48536111)×1.75562903034221e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.75562903034221e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.75562903034221e-05×40589641000000     		ar = 78380.0667138344m²