Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75660 / 56711
↖ ↑ ↗
← N 23.546363°
E 27.806396°		 ← 280 m → N 23.546363°
E 27.809143°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
N 23.543845°
E 27.806396°		 ← 280 m →
78 383 m²		 N 23.543845°
E 27.809143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577243804931641 y=0.432674407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577243804931641 × 217)
    floor (0.577243804931641 × 131072)
    floor (75660.5)     		tx = 75660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432674407958984 × 217)
    floor (0.432674407958984 × 131072)
    floor (56711.5)     		ty = 56711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75660 / 56711 ti = "17/75660/56711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75660/56711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75660 ÷ 217
    75660 ÷ 131072     		x = 0.577239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56711 ÷ 217
    56711 ÷ 131072     		y = 0.432670593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577239990234375 × 2 - 1) × π
    0.15447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48531317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432670593261719 × 2 - 1) × π
    0.134658813476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.423043139146996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48531317} λ = 0.48531317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423043139146996))-π/2
    2×atan(1.52660015077429)-π/2
    2×0.990878944475574-π/2
    1.98175788895115-1.57079632675     		φ = 0.41096156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48531317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.806396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41096156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.546363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75660 KachelY 56711 0.48531317 0.41096156 27.806396 23.546363
    Oben rechts KachelX + 1 75661 KachelY 56711 0.48536111 0.41096156 27.809143 23.546363
    Unten links KachelX 75660 KachelY + 1 56712 0.48531317 0.41091762 27.806396 23.543845
    Unten rechts KachelX + 1 75661 KachelY + 1 56712 0.48536111 0.41091762 27.809143 23.543845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41096156-0.41091762) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dl = 279.941740000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41096156-0.41091762) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dr = 279.941740000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48531317-0.48536111) × cos(0.41096156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916737112106414 × 6371000     		do = 279.995110850381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48531317-0.48536111) × cos(0.41091762) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916754664856417 × 6371000     		du = 280.000471912039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41096156)-sin(0.41091762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916737112106414-0.916754664856417)×R²
    abs(0.48536111-0.48531317)×1.75527500025918e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75527500025918e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75527500025918e-05×40589641000000     		ar = 78383.0689281109m²