Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75660 / 56708
↖ ↑ ↗
← N 23.553917°
E 27.806396°		 ← 279.98 m → N 23.553917°
E 27.809143°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
N 23.551399°
E 27.806396°		 ← 279.98 m →
78 396 m²		 N 23.551399°
E 27.809143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577243804931641 y=0.432651519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577243804931641 × 217)
    floor (0.577243804931641 × 131072)
    floor (75660.5)     		tx = 75660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432651519775391 × 217)
    floor (0.432651519775391 × 131072)
    floor (56708.5)     		ty = 56708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75660 / 56708 ti = "17/75660/56708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75660/56708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75660 ÷ 217
    75660 ÷ 131072     		x = 0.577239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56708 ÷ 217
    56708 ÷ 131072     		y = 0.432647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577239990234375 × 2 - 1) × π
    0.15447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48531317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432647705078125 × 2 - 1) × π
    0.13470458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.423186949845856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48531317} λ = 0.48531317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423186949845856))-π/2
    2×atan(1.52681970799582)-π/2
    2×0.9909448608842-π/2
    1.9818897217684-1.57079632675     		φ = 0.41109340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48531317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.806396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41109340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.553917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75660 KachelY 56708 0.48531317 0.41109340 27.806396 23.553917
    Oben rechts KachelX + 1 75661 KachelY 56708 0.48536111 0.41109340 27.809143 23.553917
    Unten links KachelX 75660 KachelY + 1 56709 0.48531317 0.41104945 27.806396 23.551399
    Unten rechts KachelX + 1 75661 KachelY + 1 56709 0.48536111 0.41104945 27.809143 23.551399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41109340-0.41104945) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41109340-0.41104945) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48531317-0.48536111) × cos(0.41109340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916684435244509 × 6371000     		do = 279.979021980853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48531317-0.48536111) × cos(0.41104945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916701997300829 × 6371000     		du = 279.9843858849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41109340)-sin(0.41104945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916684435244509-0.916701997300829)×R²
    abs(0.48536111-0.48531317)×1.75620563204193e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75620563204193e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75620563204193e-05×40589641000000     		ar = 78396.4030141256m²