Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7566 / 4318
↖ ↑ ↗
← N 64.491725°
W 13.754883°		 ← 1 052.15 m → N 64.491725°
W 13.732910°		 →
↑
1 052.36 m
↓
↑
1 052.36 m
↓
N 64.482261°
W 13.754883°		 ← 1 052.51 m →
1 107 434 m²		 N 64.482261°
W 13.732910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461822509765625 y=0.263580322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461822509765625 × 214)
    floor (0.461822509765625 × 16384)
    floor (7566.5)     		tx = 7566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263580322265625 × 214)
    floor (0.263580322265625 × 16384)
    floor (4318.5)     		ty = 4318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7566 / 4318 ti = "14/7566/4318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7566/4318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7566 ÷ 214
    7566 ÷ 16384     		x = 0.4617919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4318 ÷ 214
    4318 ÷ 16384     		y = 0.2635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.076416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24006799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2635498046875 × 2 - 1) × π
    0.472900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48566039302478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24006799} λ = -0.24006799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48566039302478))-π/2
    2×atan(4.41788198807882)-π/2
    2×1.34819463454574-π/2
    2.69638926909149-1.57079632675     		φ = 1.12559294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24006799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.754883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12559294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.491725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7566 KachelY 4318 -0.24006799 1.12559294 -13.754883 64.491725
    Oben rechts KachelX + 1 7567 KachelY 4318 -0.23968450 1.12559294 -13.732910 64.491725
    Unten links KachelX 7566 KachelY + 1 4319 -0.24006799 1.12542776 -13.754883 64.482261
    Unten rechts KachelX + 1 7567 KachelY + 1 4319 -0.23968450 1.12542776 -13.732910 64.482261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12559294-1.12542776) × R
    0.000165179999999987 × 6371000     		dl = 1052.36177999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12559294-1.12542776) × R
    0.000165179999999987 × 6371000     		dr = 1052.36177999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24006799--0.23968450) × cos(1.12559294) × R
    0.000383490000000014 × 0.430641450486717 × 6371000     		do = 1052.14956101624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24006799--0.23968450) × cos(1.12542776) × R
    0.000383490000000014 × 0.430790523376344 × 6371000     		du = 1052.51377810496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12559294)-sin(1.12542776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430641450486717-0.430790523376344)×R²
    abs(-0.23968450--0.24006799)×0.0001490728896269×R²
    0.000383490000000014×0.0001490728896269×6371000²
    0.000383490000000014×0.0001490728896269×40589641000000     		ar = 1107433.63144604m²