Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7566 / 1742
↖ ↑ ↗
← N 71.328950°
E152.490235°		 ← 1 564.33 m → N 71.328950°
E152.534180°		 →
↑
1 564.91 m
↓
↑
1 564.91 m
↓
N 71.314876°
E152.490235°		 ← 1 565.47 m →
2 448 930 m²		 N 71.314876°
E152.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92364501953125 y=0.21270751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92364501953125 × 213)
    floor (0.92364501953125 × 8192)
    floor (7566.5)     		tx = 7566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21270751953125 × 213)
    floor (0.21270751953125 × 8192)
    floor (1742.5)     		ty = 1742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7566 / 1742 ti = "13/7566/1742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7566/1742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7566 ÷ 213
    7566 ÷ 8192     		x = 0.923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1742 ÷ 213
    1742 ÷ 8192     		y = 0.212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.923583984375 × 2 - 1) × π
    0.84716796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.66145667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212646484375 × 2 - 1) × π
    0.57470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80549538728979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.66145667} λ = 2.66145667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80549538728979))-π/2
    2×atan(6.08298413526)-π/2
    2×1.40786067968704-π/2
    2.81572135937407-1.57079632675     		φ = 1.24492503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.66145667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.490235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24492503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.328950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7566 KachelY 1742 2.66145667 1.24492503 152.490235 71.328950
    Oben rechts KachelX + 1 7567 KachelY 1742 2.66222366 1.24492503 152.534180 71.328950
    Unten links KachelX 7566 KachelY + 1 1743 2.66145667 1.24467940 152.490235 71.314876
    Unten rechts KachelX + 1 7567 KachelY + 1 1743 2.66222366 1.24467940 152.534180 71.314876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24492503-1.24467940) × R
    0.000245629999999997 × 6371000     		dl = 1564.90872999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24492503-1.24467940) × R
    0.000245629999999997 × 6371000     		dr = 1564.90872999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.66145667-2.66222366) × cos(1.24492503) × R
    0.000766989999999801 × 0.320134349590218 × 6371000     		do = 1564.33435117071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.66145667-2.66222366) × cos(1.24467940) × R
    0.000766989999999801 × 0.320367042952561 × 6371000     		du = 1565.47140572443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24492503)-sin(1.24467940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320134349590218-0.320367042952561)×R²
    abs(2.66222366-2.66145667)×0.00023269336234355×R²
    0.000766989999999801×0.00023269336234355×6371000²
    0.000766989999999801×0.00023269336234355×40589641000000     		ar = 2448930.18839544m²