Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75656 / 56720
↖ ↑ ↗
← N 23.523700°
E 27.795410°		 ← 280.04 m → N 23.523700°
E 27.798157°		 →
↑
280.07 m
↓
↑
280.07 m
↓
N 23.521181°
E 27.795410°		 ← 280.05 m →
78 432 m²		 N 23.521181°
E 27.798157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577213287353516 y=0.432743072509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577213287353516 × 217)
    floor (0.577213287353516 × 131072)
    floor (75656.5)     		tx = 75656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432743072509766 × 217)
    floor (0.432743072509766 × 131072)
    floor (56720.5)     		ty = 56720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75656 / 56720 ti = "17/75656/56720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75656/56720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75656 ÷ 217
    75656 ÷ 131072     		x = 0.57720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56720 ÷ 217
    56720 ÷ 131072     		y = 0.4327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57720947265625 × 2 - 1) × π
    0.1544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48512142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4327392578125 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.422611707050415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48512142} λ = 0.48512142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422611707050415))-π/2
    2×atan(1.52594166852601)-π/2
    2×0.990681172530943-π/2
    1.98136234506189-1.57079632675     		φ = 0.41056602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48512142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.795410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41056602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.523700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75656 KachelY 56720 0.48512142 0.41056602 27.795410 23.523700
    Oben rechts KachelX + 1 75657 KachelY 56720 0.48516936 0.41056602 27.798157 23.523700
    Unten links KachelX 75656 KachelY + 1 56721 0.48512142 0.41052206 27.795410 23.521181
    Unten rechts KachelX + 1 75657 KachelY + 1 56721 0.48516936 0.41052206 27.798157 23.521181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41056602-0.41052206) × R
    4.3959999999954e-05 × 6371000     		dl = 280.069159999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41056602-0.41052206) × R
    4.3959999999954e-05 × 6371000     		dr = 280.069159999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48512142-0.48516936) × cos(0.41056602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916895055063869 × 6371000     		do = 280.043350695039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48512142-0.48516936) × cos(0.41052206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916912599861192 × 6371000     		du = 280.048709327745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41056602)-sin(0.41052206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916895055063869-0.916912599861192)×R²
    abs(0.48516936-0.48512142)×1.75447973226328e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75447973226328e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75447973226328e-05×40589641000000     		ar = 78432.2563992008m²