Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75655 / 56719
↖ ↑ ↗
← N 23.526218°
E 27.792664°		 ← 279.98 m → N 23.526218°
E 27.795410°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
N 23.523700°
E 27.792664°		 ← 279.98 m →
78 397 m²		 N 23.523700°
E 27.795410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577205657958984 y=0.432735443115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577205657958984 × 217)
    floor (0.577205657958984 × 131072)
    floor (75655.5)     		tx = 75655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432735443115234 × 217)
    floor (0.432735443115234 × 131072)
    floor (56719.5)     		ty = 56719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75655 / 56719 ti = "17/75655/56719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75655/56719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75655 ÷ 217
    75655 ÷ 131072     		x = 0.577201843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56719 ÷ 217
    56719 ÷ 131072     		y = 0.432731628417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577201843261719 × 2 - 1) × π
    0.154403686523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.48507349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432731628417969 × 2 - 1) × π
    0.134536743164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.422659643950035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48507349} λ = 0.48507349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422659643950035))-π/2
    2×atan(1.52601481919189)-π/2
    2×0.990703148873824-π/2
    1.98140629774765-1.57079632675     		φ = 0.41060997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48507349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.792664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41060997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.526218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75655 KachelY 56719 0.48507349 0.41060997 27.792664 23.526218
    Oben rechts KachelX + 1 75656 KachelY 56719 0.48512142 0.41060997 27.795410 23.526218
    Unten links KachelX 75655 KachelY + 1 56720 0.48507349 0.41056602 27.792664 23.523700
    Unten rechts KachelX + 1 75656 KachelY + 1 56720 0.48512142 0.41056602 27.795410 23.523700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41060997-0.41056602) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41060997-0.41056602) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48507349-0.48512142) × cos(0.41060997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.916877512486351 × 6371000     		do = 279.979578474354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48507349-0.48512142) × cos(0.41056602) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.916895055063869 × 6371000     		du = 279.984935311436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41060997)-sin(0.41056602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916877512486351-0.916895055063869)×R²
    abs(0.48512142-0.48507349)×1.75425775187366e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75425775187366e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75425775187366e-05×40589641000000     		ar = 78396.5578459316m²