Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75654 / 56722
↖ ↑ ↗
← N 23.518663°
E 27.789917°		 ← 280.05 m → N 23.518663°
E 27.792664°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
N 23.516145°
E 27.789917°		 ← 280.06 m →
78 417 m²		 N 23.516145°
E 27.792664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577198028564453 y=0.432758331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577198028564453 × 217)
    floor (0.577198028564453 × 131072)
    floor (75654.5)     		tx = 75654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432758331298828 × 217)
    floor (0.432758331298828 × 131072)
    floor (56722.5)     		ty = 56722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75654 / 56722 ti = "17/75654/56722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75654/56722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75654 ÷ 217
    75654 ÷ 131072     		x = 0.577194213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56722 ÷ 217
    56722 ÷ 131072     		y = 0.432754516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577194213867188 × 2 - 1) × π
    0.154388427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48502555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432754516601562 × 2 - 1) × π
    0.134490966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.422515833251175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48502555} λ = 0.48502555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422515833251175))-π/2
    2×atan(1.52579537771367)-π/2
    2×0.990637218583785-π/2
    1.98127443716757-1.57079632675     		φ = 0.41047811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48502555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.789917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41047811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.518663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75654 KachelY 56722 0.48502555 0.41047811 27.789917 23.518663
    Oben rechts KachelX + 1 75655 KachelY 56722 0.48507349 0.41047811 27.792664 23.518663
    Unten links KachelX 75654 KachelY + 1 56723 0.48502555 0.41043416 27.789917 23.516145
    Unten rechts KachelX + 1 75655 KachelY + 1 56723 0.48507349 0.41043416 27.792664 23.516145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41047811-0.41043416) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41047811-0.41043416) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48502555-0.48507349) × cos(0.41047811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.91693013889612 × 6371000     		do = 280.054066200467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48502555-0.48507349) × cos(0.41043416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916947676159904 × 6371000     		du = 280.059422532235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41047811)-sin(0.41043416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91693013889612-0.916947676159904)×R²
    abs(0.48507349-0.48502555)×1.7537263783729e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7537263783729e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7537263783729e-05×40589641000000     		ar = 78417.4147444593m²