Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7565 / 10513
↖ ↑ ↗
← S 45.352145°
W 13.776856°		 ← 1 717.01 m → S 45.352145°
W 13.754883°		 →
↑
1 716.73 m
↓
↑
1 716.73 m
↓
S 45.367584°
W 13.776856°		 ← 1 716.54 m →
2 947 236 m²		 S 45.367584°
W 13.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461761474609375 y=0.641693115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461761474609375 × 214)
    floor (0.461761474609375 × 16384)
    floor (7565.5)     		tx = 7565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641693115234375 × 214)
    floor (0.641693115234375 × 16384)
    floor (10513.5)     		ty = 10513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7565 / 10513 ti = "14/7565/10513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7565/10513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7565 ÷ 214
    7565 ÷ 16384     		x = 0.46173095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10513 ÷ 214
    10513 ÷ 16384     		y = 0.64166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46173095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0765380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24045149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.2833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.890092352145203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24045149} λ = -0.24045149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890092352145203))-π/2
    2×atan(0.41061782956381)-π/2
    2×0.389626034714984-π/2
    0.779252069429968-1.57079632675     		φ = -0.79154426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24045149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.776856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79154426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.352145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7565 KachelY 10513 -0.24045149 -0.79154426 -13.776856 -45.352145
    Oben rechts KachelX + 1 7566 KachelY 10513 -0.24006799 -0.79154426 -13.754883 -45.352145
    Unten links KachelX 7565 KachelY + 1 10514 -0.24045149 -0.79181372 -13.776856 -45.367584
    Unten rechts KachelX + 1 7566 KachelY + 1 10514 -0.24006799 -0.79181372 -13.754883 -45.367584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79154426--0.79181372) × R
    0.000269460000000055 × 6371000     		dl = 1716.72966000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79154426--0.79181372) × R
    0.000269460000000055 × 6371000     		dr = 1716.72966000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24045149--0.24006799) × cos(-0.79154426) × R
    0.000383499999999981 × 0.702747506700268 × 6371000     		do = 1717.00787404929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24045149--0.24006799) × cos(-0.79181372) × R
    0.000383499999999981 × 0.702555776743856 × 6371000     		du = 1716.53942436898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79154426)-sin(-0.79181372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702747506700268-0.702555776743856)×R²
    abs(-0.24006799--0.24045149)×0.000191729956412368×R²
    0.000383499999999981×0.000191729956412368×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191729956412368×40589641000000     		ar = 2947236.2609386m²