Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75640 / 56751
↖ ↑ ↗
← N 23.445609°
E 27.751465°		 ← 280.21 m → N 23.445609°
E 27.754211°		 →
↑
280.20 m
↓
↑
280.20 m
↓
N 23.443089°
E 27.751465°		 ← 280.21 m →
78 514 m²		 N 23.443089°
E 27.754211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577091217041016 y=0.432979583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577091217041016 × 217)
    floor (0.577091217041016 × 131072)
    floor (75640.5)     		tx = 75640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432979583740234 × 217)
    floor (0.432979583740234 × 131072)
    floor (56751.5)     		ty = 56751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75640 / 56751 ti = "17/75640/56751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75640/56751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75640 ÷ 217
    75640 ÷ 131072     		x = 0.57708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56751 ÷ 217
    56751 ÷ 131072     		y = 0.432975769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57708740234375 × 2 - 1) × π
    0.1541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48435443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432975769042969 × 2 - 1) × π
    0.134048461914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.421125663162193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48435443} λ = 0.48435443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421125663162193))-π/2
    2×atan(1.52367573629008)-π/2
    2×0.989999697515937-π/2
    1.97999939503187-1.57079632675     		φ = 0.40920307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48435443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.751465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40920307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.445609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75640 KachelY 56751 0.48435443 0.40920307 27.751465 23.445609
    Oben rechts KachelX + 1 75641 KachelY 56751 0.48440237 0.40920307 27.754211 23.445609
    Unten links KachelX 75640 KachelY + 1 56752 0.48435443 0.40915909 27.751465 23.443089
    Unten rechts KachelX + 1 75641 KachelY + 1 56752 0.48440237 0.40915909 27.754211 23.443089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40920307-0.40915909) × R
    4.3979999999999e-05 × 6371000     		dl = 280.196579999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40920307-0.40915909) × R
    4.3979999999999e-05 × 6371000     		dr = 280.196579999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48435443-0.48440237) × cos(0.40920307) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91743819528421 × 6371000     		do = 280.209239699085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48435443-0.48440237) × cos(0.40915909) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.917455693085462 × 6371000     		du = 280.214583977981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40920307)-sin(0.40915909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91743819528421-0.917455693085462)×R²
    abs(0.48440237-0.48435443)×1.74978012519311e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.74978012519311e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.74978012519311e-05×40589641000000     		ar = 78514.4193850332m²