Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75640 / 56536
↖ ↑ ↗
← N 23.986252°
E 27.751465°		 ← 279.05 m → N 23.986252°
E 27.754211°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
N 23.983743°
E 27.751465°		 ← 279.06 m →
77 852 m²		 N 23.983743°
E 27.754211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577091217041016 y=0.431339263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577091217041016 × 217)
    floor (0.577091217041016 × 131072)
    floor (75640.5)     		tx = 75640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431339263916016 × 217)
    floor (0.431339263916016 × 131072)
    floor (56536.5)     		ty = 56536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75640 / 56536 ti = "17/75640/56536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75640/56536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75640 ÷ 217
    75640 ÷ 131072     		x = 0.57708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56536 ÷ 217
    56536 ÷ 131072     		y = 0.43133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57708740234375 × 2 - 1) × π
    0.1541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48435443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43133544921875 × 2 - 1) × π
    0.1373291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.431432096580505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48435443} λ = 0.48435443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431432096580505))-π/2
    2×atan(1.53946060192509)-π/2
    2×0.99471770493296-π/2
    1.98943540986592-1.57079632675     		φ = 0.41863908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48435443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.751465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41863908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.986252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75640 KachelY 56536 0.48435443 0.41863908 27.751465 23.986252
    Oben rechts KachelX + 1 75641 KachelY 56536 0.48440237 0.41863908 27.754211 23.986252
    Unten links KachelX 75640 KachelY + 1 56537 0.48435443 0.41859529 27.751465 23.983743
    Unten rechts KachelX + 1 75641 KachelY + 1 56537 0.48440237 0.41859529 27.754211 23.983743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41863908-0.41859529) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dl = 278.986089999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41863908-0.41859529) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dr = 278.986089999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48435443-0.48440237) × cos(0.41863908) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913643023929424 × 6371000     		do = 279.050096679622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48435443-0.48440237) × cos(0.41859529) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913660824451905 × 6371000     		du = 279.055533417373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41863908)-sin(0.41859529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913643023929424-0.913660824451905)×R²
    abs(0.48440237-0.48435443)×1.78005224812372e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78005224812372e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78005224812372e-05×40589641000000     		ar = 77851.8537863549m²