Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7564 / 5012
↖ ↑ ↗
← N 57.088515°
W 13.798828°		 ← 1 327.50 m → N 57.088515°
W 13.776856°		 →
↑
1 327.78 m
↓
↑
1 327.78 m
↓
N 57.076574°
W 13.798828°		 ← 1 327.93 m →
1 762 916 m²		 N 57.076574°
W 13.776856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461700439453125 y=0.305938720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461700439453125 × 214)
    floor (0.461700439453125 × 16384)
    floor (7564.5)     		tx = 7564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305938720703125 × 214)
    floor (0.305938720703125 × 16384)
    floor (5012.5)     		ty = 5012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7564 / 5012 ti = "14/7564/5012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7564/5012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7564 ÷ 214
    7564 ÷ 16384     		x = 0.461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5012 ÷ 214
    5012 ÷ 16384     		y = 0.305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.07666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24083498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305908203125 × 2 - 1) × π
    0.38818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21951472633423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24083498} λ = -0.24083498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21951472633423))-π/2
    2×atan(3.385544419374)-π/2
    2×1.28358944216141-π/2
    2.56717888432283-1.57079632675     		φ = 0.99638256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24083498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99638256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.088515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7564 KachelY 5012 -0.24083498 0.99638256 -13.798828 57.088515
    Oben rechts KachelX + 1 7565 KachelY 5012 -0.24045149 0.99638256 -13.776856 57.088515
    Unten links KachelX 7564 KachelY + 1 5013 -0.24083498 0.99617415 -13.798828 57.076574
    Unten rechts KachelX + 1 7565 KachelY + 1 5013 -0.24045149 0.99617415 -13.776856 57.076574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99638256-0.99617415) × R
    0.000208410000000048 × 6371000     		dl = 1327.7801100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99638256-0.99617415) × R
    0.000208410000000048 × 6371000     		dr = 1327.7801100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24083498--0.24045149) × cos(0.99638256) × R
    0.000383490000000014 × 0.543342734868998 × 6371000     		do = 1327.50300587103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24083498--0.24045149) × cos(0.99617415) × R
    0.000383490000000014 × 0.543517685549478 × 6371000     		du = 1327.9304479611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99638256)-sin(0.99617415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543342734868998-0.543517685549478)×R²
    abs(-0.24045149--0.24083498)×0.000174950680480346×R²
    0.000383490000000014×0.000174950680480346×6371000²
    0.000383490000000014×0.000174950680480346×40589641000000     		ar = 1762915.86809396m²