Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75639 / 56754
↖ ↑ ↗
← N 23.438049°
E 27.748718°		 ← 280.17 m → N 23.438049°
E 27.751465°		 →
↑
280.20 m
↓
↑
280.20 m
↓
N 23.435529°
E 27.748718°		 ← 280.17 m →
78 503 m²		 N 23.435529°
E 27.751465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577083587646484 y=0.433002471923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577083587646484 × 217)
    floor (0.577083587646484 × 131072)
    floor (75639.5)     		tx = 75639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433002471923828 × 217)
    floor (0.433002471923828 × 131072)
    floor (56754.5)     		ty = 56754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75639 / 56754 ti = "17/75639/56754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75639/56754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75639 ÷ 217
    75639 ÷ 131072     		x = 0.577079772949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56754 ÷ 217
    56754 ÷ 131072     		y = 0.432998657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577079772949219 × 2 - 1) × π
    0.154159545898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.48430650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432998657226562 × 2 - 1) × π
    0.134002685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.420981852463333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48430650} λ = 0.48430650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420981852463333))-π/2
    2×atan(1.52345663117282)-π/2
    2×0.989933726914692-π/2
    1.97986745382938-1.57079632675     		φ = 0.40907113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48430650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.748718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40907113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.438049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75639 KachelY 56754 0.48430650 0.40907113 27.748718 23.438049
    Oben rechts KachelX + 1 75640 KachelY 56754 0.48435443 0.40907113 27.751465 23.438049
    Unten links KachelX 75639 KachelY + 1 56755 0.48430650 0.40902715 27.748718 23.435529
    Unten rechts KachelX + 1 75640 KachelY + 1 56755 0.48435443 0.40902715 27.751465 23.435529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40907113-0.40902715) × R
    4.3979999999999e-05 × 6371000     		dl = 280.196579999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40907113-0.40902715) × R
    4.3979999999999e-05 × 6371000     		dr = 280.196579999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48430650-0.48435443) × cos(0.40907113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.917490683364192 × 6371000     		do = 280.166817578349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48430650-0.48435443) × cos(0.40902715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.917508175841603 × 6371000     		du = 280.17215911676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40907113)-sin(0.40902715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917490683364192-0.917508175841603)×R²
    abs(0.48435443-0.48430650)×1.74924774108964e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74924774108964e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74924774108964e-05×40589641000000     		ar = 78502.5324679943m²