Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75637 / 55634
↖ ↑ ↗
← N 26.229375°
E 27.743225°		 ← 273.98 m → N 26.229375°
E 27.745972°		 →
↑
273.95 m
↓
↑
273.95 m
↓
N 26.226911°
E 27.743225°		 ← 273.98 m →
75 058 m²		 N 26.226911°
E 27.745972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577068328857422 y=0.424457550048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577068328857422 × 217)
    floor (0.577068328857422 × 131072)
    floor (75637.5)     		tx = 75637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424457550048828 × 217)
    floor (0.424457550048828 × 131072)
    floor (55634.5)     		ty = 55634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75637 / 55634 ti = "17/75637/55634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75637/55634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75637 ÷ 217
    75637 ÷ 131072     		x = 0.577064514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55634 ÷ 217
    55634 ÷ 131072     		y = 0.424453735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577064514160156 × 2 - 1) × π
    0.154129028320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.48421062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424453735351562 × 2 - 1) × π
    0.151092529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.474671180037796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48421062} λ = 0.48421062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474671180037796))-π/2
    2×atan(1.60748553723993)-π/2
    2×1.01429263708841-π/2
    2.02858527417682-1.57079632675     		φ = 0.45778895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48421062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.743225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45778895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.229375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75637 KachelY 55634 0.48421062 0.45778895 27.743225 26.229375
    Oben rechts KachelX + 1 75638 KachelY 55634 0.48425856 0.45778895 27.745972 26.229375
    Unten links KachelX 75637 KachelY + 1 55635 0.48421062 0.45774595 27.743225 26.226911
    Unten rechts KachelX + 1 75638 KachelY + 1 55635 0.48425856 0.45774595 27.745972 26.226911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45778895-0.45774595) × R
    4.29999999999597e-05 × 6371000     		dl = 273.952999999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45778895-0.45774595) × R
    4.29999999999597e-05 × 6371000     		dr = 273.952999999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48421062-0.48425856) × cos(0.45778895) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897031897903747 × 6371000     		do = 273.976631220994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48421062-0.48425856) × cos(0.45774595) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897050901604116 × 6371000     		du = 273.982435440242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45778895)-sin(0.45774595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897031897903747-0.897050901604116)×R²
    abs(0.48425856-0.48421062)×1.90037003690025e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90037003690025e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90037003690025e-05×40589641000000     		ar = 75057.5151059892m²