Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75635 / 56539
↖ ↑ ↗
← N 23.978724°
E 27.737732°		 ← 279.07 m → N 23.978724°
E 27.740479°		 →
↑
279.05 m
↓
↑
279.05 m
↓
N 23.976215°
E 27.737732°		 ← 279.07 m →
77 874 m²		 N 23.976215°
E 27.740479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577053070068359 y=0.431362152099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577053070068359 × 217)
    floor (0.577053070068359 × 131072)
    floor (75635.5)     		tx = 75635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431362152099609 × 217)
    floor (0.431362152099609 × 131072)
    floor (56539.5)     		ty = 56539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75635 / 56539 ti = "17/75635/56539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75635/56539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75635 ÷ 217
    75635 ÷ 131072     		x = 0.577049255371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56539 ÷ 217
    56539 ÷ 131072     		y = 0.431358337402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577049255371094 × 2 - 1) × π
    0.154098510742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.48411475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431358337402344 × 2 - 1) × π
    0.137283325195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.431288285881645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48411475} λ = 0.48411475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431288285881645))-π/2
    2×atan(1.53923922693849)-π/2
    2×0.994652007191971-π/2
    1.98930401438394-1.57079632675     		φ = 0.41850769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48411475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.737732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41850769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.978724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75635 KachelY 56539 0.48411475 0.41850769 27.737732 23.978724
    Oben rechts KachelX + 1 75636 KachelY 56539 0.48416269 0.41850769 27.740479 23.978724
    Unten links KachelX 75635 KachelY + 1 56540 0.48411475 0.41846389 27.737732 23.976215
    Unten rechts KachelX + 1 75636 KachelY + 1 56540 0.48416269 0.41846389 27.740479 23.976215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41850769-0.41846389) × R
    4.37999999999827e-05 × 6371000     		dl = 279.04979999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41850769-0.41846389) × R
    4.37999999999827e-05 × 6371000     		dr = 279.04979999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48411475-0.48416269) × cos(0.41850769) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913696428368771 × 6371000     		do = 279.066407770029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48411475-0.48416269) × cos(0.41846389) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913714227697914 × 6371000     		du = 279.071844143304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41850769)-sin(0.41846389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913696428368771-0.913714227697914)×R²
    abs(0.48416269-0.48411475)×1.77993291428091e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.77993291428091e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.77993291428091e-05×40589641000000     		ar = 77874.1837968029m²