Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75634 / 56538
↖ ↑ ↗
← N 23.981234°
E 27.734985°		 ← 279.06 m → N 23.981234°
E 27.737732°		 →
↑
279.05 m
↓
↑
279.05 m
↓
N 23.978724°
E 27.734985°		 ← 279.07 m →
77 873 m²		 N 23.978724°
E 27.737732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577045440673828 y=0.431354522705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577045440673828 × 217)
    floor (0.577045440673828 × 131072)
    floor (75634.5)     		tx = 75634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431354522705078 × 217)
    floor (0.431354522705078 × 131072)
    floor (56538.5)     		ty = 56538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75634 / 56538 ti = "17/75634/56538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75634/56538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75634 ÷ 217
    75634 ÷ 131072     		x = 0.577041625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56538 ÷ 217
    56538 ÷ 131072     		y = 0.431350708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577041625976562 × 2 - 1) × π
    0.154083251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48406681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431350708007812 × 2 - 1) × π
    0.137298583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.431336222781265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48406681} λ = 0.48406681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431336222781265))-π/2
    2×atan(1.53931301506337)-π/2
    2×0.994673906865653-π/2
    1.98934781373131-1.57079632675     		φ = 0.41855149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48406681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.734985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41855149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.981234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75634 KachelY 56538 0.48406681 0.41855149 27.734985 23.981234
    Oben rechts KachelX + 1 75635 KachelY 56538 0.48411475 0.41855149 27.737732 23.981234
    Unten links KachelX 75634 KachelY + 1 56539 0.48406681 0.41850769 27.734985 23.978724
    Unten rechts KachelX + 1 75635 KachelY + 1 56539 0.48411475 0.41850769 27.737732 23.978724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41855149-0.41850769) × R
    4.38000000000383e-05 × 6371000     		dl = 279.049800000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41855149-0.41850769) × R
    4.38000000000383e-05 × 6371000     		dr = 279.049800000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48406681-0.48411475) × cos(0.41855149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913678627286757 × 6371000     		do = 279.060970861059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48406681-0.48411475) × cos(0.41850769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913696428368771 × 6371000     		du = 279.066407769706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41855149)-sin(0.41850769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913678627286757-0.913696428368771)×R²
    abs(0.48411475-0.48406681)×1.78010820144348e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78010820144348e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78010820144348e-05×40589641000000     		ar = 77872.6667032329m²