Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75632 / 56494
↖ ↑ ↗
← N 24.091604°
E 27.729492°		 ← 278.82 m → N 24.091604°
E 27.732239°		 →
↑
278.79 m
↓
↑
278.79 m
↓
N 24.089097°
E 27.729492°		 ← 278.83 m →
77 735 m²		 N 24.089097°
E 27.732239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577030181884766 y=0.431018829345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577030181884766 × 217)
    floor (0.577030181884766 × 131072)
    floor (75632.5)     		tx = 75632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431018829345703 × 217)
    floor (0.431018829345703 × 131072)
    floor (56494.5)     		ty = 56494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75632 / 56494 ti = "17/75632/56494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75632/56494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75632 ÷ 217
    75632 ÷ 131072     		x = 0.5770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56494 ÷ 217
    56494 ÷ 131072     		y = 0.431015014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5770263671875 × 2 - 1) × π
    0.154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48397094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431015014648438 × 2 - 1) × π
    0.137969970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.433445446364548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48397094} λ = 0.48397094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433445446364548))-π/2
    2×atan(1.54256319685188)-π/2
    2×0.995637069622035-π/2
    1.99127413924407-1.57079632675     		φ = 0.42047781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48397094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.729492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42047781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.091604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75632 KachelY 56494 0.48397094 0.42047781 27.729492 24.091604
    Oben rechts KachelX + 1 75633 KachelY 56494 0.48401888 0.42047781 27.732239 24.091604
    Unten links KachelX 75632 KachelY + 1 56495 0.48397094 0.42043405 27.729492 24.089097
    Unten rechts KachelX + 1 75633 KachelY + 1 56495 0.48401888 0.42043405 27.732239 24.089097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42047781-0.42043405) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dl = 278.794960000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42047781-0.42043405) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dr = 278.794960000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48397094-0.48401888) × cos(0.42047781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912894004067451 × 6371000     		do = 278.821326733681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48397094-0.48401888) × cos(0.42043405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912911865880511 × 6371000     		du = 278.826782191153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42047781)-sin(0.42043405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912894004067451-0.912911865880511)×R²
    abs(0.48401888-0.48397094)×1.78618130602937e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78618130602937e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78618130602937e-05×40589641000000     		ar = 77734.7411232872m²