Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75631 / 56547
↖ ↑ ↗
← N 23.958646°
E 27.726746°		 ← 279.11 m → N 23.958646°
E 27.729492°		 →
↑
279.05 m
↓
↑
279.05 m
↓
N 23.956137°
E 27.726746°		 ← 279.12 m →
77 886 m²		 N 23.956137°
E 27.729492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577022552490234 y=0.431423187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577022552490234 × 217)
    floor (0.577022552490234 × 131072)
    floor (75631.5)     		tx = 75631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431423187255859 × 217)
    floor (0.431423187255859 × 131072)
    floor (56547.5)     		ty = 56547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75631 / 56547 ti = "17/75631/56547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75631/56547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75631 ÷ 217
    75631 ÷ 131072     		x = 0.577018737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56547 ÷ 217
    56547 ÷ 131072     		y = 0.431419372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577018737792969 × 2 - 1) × π
    0.154037475585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.48392300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431419372558594 × 2 - 1) × π
    0.137161254882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.430904790684685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48392300} λ = 0.48392300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.430904790684685))-π/2
    2×atan(1.53864904926037)-π/2
    2×0.994476794446264-π/2
    1.98895358889253-1.57079632675     		φ = 0.41815726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48392300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.726746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41815726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.958646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75631 KachelY 56547 0.48392300 0.41815726 27.726746 23.958646
    Oben rechts KachelX + 1 75632 KachelY 56547 0.48397094 0.41815726 27.729492 23.958646
    Unten links KachelX 75631 KachelY + 1 56548 0.48392300 0.41811346 27.726746 23.956137
    Unten rechts KachelX + 1 75632 KachelY + 1 56548 0.48397094 0.41811346 27.729492 23.956137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41815726-0.41811346) × R
    4.37999999999827e-05 × 6371000     		dl = 279.04979999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41815726-0.41811346) × R
    4.37999999999827e-05 × 6371000     		dr = 279.04979999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48392300-0.48397094) × cos(0.41815726) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913838786100951 × 6371000     		do = 279.109887485725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48392300-0.48397094) × cos(0.41811346) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91385657140469 × 6371000     		du = 279.11531957528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41815726)-sin(0.41811346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913838786100951-0.91385657140469)×R²
    abs(0.48397094-0.48392300)×1.77853037386377e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.77853037386377e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.77853037386377e-05×40589641000000     		ar = 77886.3162050443m²