Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75630 / 56549
↖ ↑ ↗
← N 23.953626°
E 27.723999°		 ← 279.12 m → N 23.953626°
E 27.726746°		 →
↑
279.11 m
↓
↑
279.11 m
↓
N 23.951116°
E 27.723999°		 ← 279.13 m →
77 907 m²		 N 23.951116°
E 27.726746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577014923095703 y=0.431438446044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577014923095703 × 217)
    floor (0.577014923095703 × 131072)
    floor (75630.5)     		tx = 75630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431438446044922 × 217)
    floor (0.431438446044922 × 131072)
    floor (56549.5)     		ty = 56549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75630 / 56549 ti = "17/75630/56549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75630/56549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75630 ÷ 217
    75630 ÷ 131072     		x = 0.577011108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56549 ÷ 217
    56549 ÷ 131072     		y = 0.431434631347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577011108398438 × 2 - 1) × π
    0.154022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48387506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431434631347656 × 2 - 1) × π
    0.137130737304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.430808916885445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48387506} λ = 0.48387506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.430808916885445))-π/2
    2×atan(1.53850154020156)-π/2
    2×0.994432986995449-π/2
    1.9888659739909-1.57079632675     		φ = 0.41806965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48387506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.723999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41806965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.953626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75630 KachelY 56549 0.48387506 0.41806965 27.723999 23.953626
    Oben rechts KachelX + 1 75631 KachelY 56549 0.48392300 0.41806965 27.726746 23.953626
    Unten links KachelX 75630 KachelY + 1 56550 0.48387506 0.41802584 27.723999 23.951116
    Unten rechts KachelX + 1 75631 KachelY + 1 56550 0.48392300 0.41802584 27.726746 23.951116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41806965-0.41802584) × R
    4.3810000000033e-05 × 6371000     		dl = 279.11351000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41806965-0.41802584) × R
    4.3810000000033e-05 × 6371000     		dr = 279.11351000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48387506-0.48392300) × cos(0.41806965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913874359015221 × 6371000     		do = 279.120752369067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48387506-0.48392300) × cos(0.41802584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913892144871738 × 6371000     		du = 279.126184627455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41806965)-sin(0.41802584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913874359015221-0.913892144871738)×R²
    abs(0.48392300-0.48387506)×1.77858565171274e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77858565171274e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77858565171274e-05×40589641000000     		ar = 77907.1310284283m²