Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75630 / 56498
↖ ↑ ↗
← N 24.081574°
E 27.723999°		 ← 278.84 m → N 24.081574°
E 27.726746°		 →
↑
278.79 m
↓
↑
278.79 m
↓
N 24.079067°
E 27.723999°		 ← 278.85 m →
77 741 m²		 N 24.079067°
E 27.726746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577014923095703 y=0.431049346923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577014923095703 × 217)
    floor (0.577014923095703 × 131072)
    floor (75630.5)     		tx = 75630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431049346923828 × 217)
    floor (0.431049346923828 × 131072)
    floor (56498.5)     		ty = 56498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75630 / 56498 ti = "17/75630/56498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75630/56498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75630 ÷ 217
    75630 ÷ 131072     		x = 0.577011108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56498 ÷ 217
    56498 ÷ 131072     		y = 0.431045532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577011108398438 × 2 - 1) × π
    0.154022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48387506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431045532226562 × 2 - 1) × π
    0.137908935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.433253698766068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48387506} λ = 0.48387506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433253698766068))-π/2
    2×atan(1.54226744241939)-π/2
    2×0.995549543580785-π/2
    1.99109908716157-1.57079632675     		φ = 0.42030276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48387506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.723999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42030276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.081574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75630 KachelY 56498 0.48387506 0.42030276 27.723999 24.081574
    Oben rechts KachelX + 1 75631 KachelY 56498 0.48392300 0.42030276 27.726746 24.081574
    Unten links KachelX 75630 KachelY + 1 56499 0.48387506 0.42025900 27.723999 24.079067
    Unten rechts KachelX + 1 75631 KachelY + 1 56499 0.48392300 0.42025900 27.726746 24.079067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42030276-0.42025900) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dl = 278.794960000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42030276-0.42025900) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dr = 278.794960000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48387506-0.48392300) × cos(0.42030276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912965444910909 × 6371000     		do = 278.843146606161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48387506-0.48392300) × cos(0.42025900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912983299730687 × 6371000     		du = 278.848599927704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42030276)-sin(0.42025900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912965444910909-0.912983299730687)×R²
    abs(0.48392300-0.48387506)×1.78548197785622e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78548197785622e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78548197785622e-05×40589641000000     		ar = 77740.8240960737m²