Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7563 / 8523
↖ ↑ ↗
← N 78.824360°
W138.455200°		 ← 118.38 m → N 78.824360°
W138.449707°		 →
↑
118.44 m
↓
↑
118.44 m
↓
N 78.823295°
W138.455200°		 ← 118.39 m →
14 021 m²		 N 78.823295°
W138.449707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.115409851074219 y=0.130058288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.115409851074219 × 216)
    floor (0.115409851074219 × 65536)
    floor (7563.5)     		tx = 7563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130058288574219 × 216)
    floor (0.130058288574219 × 65536)
    floor (8523.5)     		ty = 8523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7563 / 8523 ti = "16/7563/8523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7563/8523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7563 ÷ 216
    7563 ÷ 65536     		x = 0.115402221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8523 ÷ 216
    8523 ÷ 65536     		y = 0.130050659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.115402221679688 × 2 - 1) × π
    -0.769195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.41649911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130050659179688 × 2 - 1) × π
    0.739898681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32446026257652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.41649911} λ = -2.41649911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32446026257652))-π/2
    2×atan(10.2211618531631)-π/2
    2×1.4732704709948-π/2
    2.9465409419896-1.57079632675     		φ = 1.37574462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.41649911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.455200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37574462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.824360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7563 KachelY 8523 -2.41649911 1.37574462 -138.455200 78.824360
    Oben rechts KachelX + 1 7564 KachelY 8523 -2.41640324 1.37574462 -138.449707 78.824360
    Unten links KachelX 7563 KachelY + 1 8524 -2.41649911 1.37572603 -138.455200 78.823295
    Unten rechts KachelX + 1 7564 KachelY + 1 8524 -2.41640324 1.37572603 -138.449707 78.823295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37574462-1.37572603) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dl = 118.436890000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37574462-1.37572603) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dr = 118.436890000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.41649911--2.41640324) × cos(1.37574462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193817261534006 × 6371000     		do = 118.38121295986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.41649911--2.41640324) × cos(1.37572603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193835498990413 × 6371000     		du = 118.392352175189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37574462)-sin(1.37572603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193817261534006-0.193835498990413)×R²
    abs(-2.41640324--2.41649911)×1.82374564069998e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82374564069998e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82374564069998e-05×40589641000000     		ar = 14021.3623449766m²