Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7563 / 5013
↖ ↑ ↗
← N 57.076574°
W 13.820801°		 ← 1 327.97 m → N 57.076574°
W 13.798828°		 →
↑
1 328.16 m
↓
↑
1 328.16 m
↓
N 57.064630°
W 13.820801°		 ← 1 328.39 m →
1 764 037 m²		 N 57.064630°
W 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461639404296875 y=0.305999755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461639404296875 × 214)
    floor (0.461639404296875 × 16384)
    floor (7563.5)     		tx = 7563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305999755859375 × 214)
    floor (0.305999755859375 × 16384)
    floor (5013.5)     		ty = 5013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7563 / 5013 ti = "14/7563/5013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7563/5013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7563 ÷ 214
    7563 ÷ 16384     		x = 0.46160888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5013 ÷ 214
    5013 ÷ 16384     		y = 0.30596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.0767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24121848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30596923828125 × 2 - 1) × π
    0.3880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21913123113727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24121848} λ = -0.24121848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21913123113727))-π/2
    2×atan(3.38424632827183)-π/2
    2×1.28348524072436-π/2
    2.56697048144873-1.57079632675     		φ = 0.99617415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24121848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.820801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99617415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.076574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7563 KachelY 5013 -0.24121848 0.99617415 -13.820801 57.076574
    Oben rechts KachelX + 1 7564 KachelY 5013 -0.24083498 0.99617415 -13.798828 57.076574
    Unten links KachelX 7563 KachelY + 1 5014 -0.24121848 0.99596568 -13.820801 57.064630
    Unten rechts KachelX + 1 7564 KachelY + 1 5014 -0.24083498 0.99596568 -13.798828 57.064630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99617415-0.99596568) × R
    0.000208470000000016 × 6371000     		dl = 1328.1623700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99617415-0.99596568) × R
    0.000208470000000016 × 6371000     		dr = 1328.1623700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24121848--0.24083498) × cos(0.99617415) × R
    0.000383500000000009 × 0.543517685549478 × 6371000     		do = 1327.96507547283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24121848--0.24083498) × cos(0.99596568) × R
    0.000383500000000009 × 0.54369266297948 × 6371000     		du = 1328.39259406554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99617415)-sin(0.99596568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543517685549478-0.54369266297948)×R²
    abs(-0.24083498--0.24121848)×0.000174977430001944×R²
    0.000383500000000009×0.000174977430001944×6371000²
    0.000383500000000009×0.000174977430001944×40589641000000     		ar = 1764037.15535933m²