Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75629 / 56815
↖ ↑ ↗
← N 23.284242°
E 27.721253°		 ← 280.49 m → N 23.284242°
E 27.723999°		 →
↑
280.52 m
↓
↑
280.52 m
↓
N 23.281719°
E 27.721253°		 ← 280.50 m →
78 683 m²		 N 23.281719°
E 27.723999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577007293701172 y=0.433467864990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577007293701172 × 217)
    floor (0.577007293701172 × 131072)
    floor (75629.5)     		tx = 75629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433467864990234 × 217)
    floor (0.433467864990234 × 131072)
    floor (56815.5)     		ty = 56815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75629 / 56815 ti = "17/75629/56815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75629/56815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75629 ÷ 217
    75629 ÷ 131072     		x = 0.577003479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56815 ÷ 217
    56815 ÷ 131072     		y = 0.433464050292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577003479003906 × 2 - 1) × π
    0.154006958007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.48382713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433464050292969 × 2 - 1) × π
    0.133071899414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.41805770158651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48382713} λ = 0.48382713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.41805770158651))-π/2
    2×atan(1.51900832106359)-π/2
    2×0.988591507512601-π/2
    1.9771830150252-1.57079632675     		φ = 0.40638669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48382713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.721253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40638669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.284242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75629 KachelY 56815 0.48382713 0.40638669 27.721253 23.284242
    Oben rechts KachelX + 1 75630 KachelY 56815 0.48387506 0.40638669 27.723999 23.284242
    Unten links KachelX 75629 KachelY + 1 56816 0.48382713 0.40634266 27.721253 23.281719
    Unten rechts KachelX + 1 75630 KachelY + 1 56816 0.48387506 0.40634266 27.723999 23.281719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40638669-0.40634266) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dl = 280.515129999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40638669-0.40634266) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dr = 280.515129999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48382713-0.48387506) × cos(0.40638669) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.918555131790997 × 6371000     		do = 280.491859710788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48382713-0.48387506) × cos(0.40634266) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.918572535646619 × 6371000     		du = 280.49717418747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40638669)-sin(0.40634266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918555131790997-0.918572535646619)×R²
    abs(0.48387506-0.48382713)×1.74038556211009e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74038556211009e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74038556211009e-05×40589641000000     		ar = 78682.9558989002m²