Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75629 / 56550
↖ ↑ ↗
← N 23.951116°
E 27.721253°		 ← 279.07 m → N 23.951116°
E 27.723999°		 →
↑
279.11 m
↓
↑
279.11 m
↓
N 23.948606°
E 27.721253°		 ← 279.07 m →
77 892 m²		 N 23.948606°
E 27.723999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577007293701172 y=0.431446075439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577007293701172 × 217)
    floor (0.577007293701172 × 131072)
    floor (75629.5)     		tx = 75629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431446075439453 × 217)
    floor (0.431446075439453 × 131072)
    floor (56550.5)     		ty = 56550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75629 / 56550 ti = "17/75629/56550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75629/56550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75629 ÷ 217
    75629 ÷ 131072     		x = 0.577003479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56550 ÷ 217
    56550 ÷ 131072     		y = 0.431442260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577003479003906 × 2 - 1) × π
    0.154006958007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.48382713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431442260742188 × 2 - 1) × π
    0.137115478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.430760979985825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48382713} λ = 0.48382713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.430760979985825))-π/2
    2×atan(1.53842779097533)-π/2
    2×0.994411082630568-π/2
    1.98882216526114-1.57079632675     		φ = 0.41802584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48382713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.721253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41802584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.951116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75629 KachelY 56550 0.48382713 0.41802584 27.721253 23.951116
    Oben rechts KachelX + 1 75630 KachelY 56550 0.48387506 0.41802584 27.723999 23.951116
    Unten links KachelX 75629 KachelY + 1 56551 0.48382713 0.41798203 27.721253 23.948606
    Unten rechts KachelX + 1 75630 KachelY + 1 56551 0.48387506 0.41798203 27.723999 23.948606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41802584-0.41798203) × R
    4.38099999999775e-05 × 6371000     		dl = 279.113509999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41802584-0.41798203) × R
    4.38099999999775e-05 × 6371000     		dr = 279.113509999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48382713-0.48387506) × cos(0.41802584) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.913892144871738 × 6371000     		do = 279.067960559259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48382713-0.48387506) × cos(0.41798203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.913909928974207 × 6371000     		du = 279.073391148891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41802584)-sin(0.41798203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913892144871738-0.913909928974207)×R²
    abs(0.48387506-0.48382713)×1.77841024692205e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77841024692205e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77841024692205e-05×40589641000000     		ar = 77892.3958882187m²