Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75625 / 56532
↖ ↑ ↗
← N 23.996290°
E 27.710266°		 ← 279.03 m → N 23.996290°
E 27.713013°		 →
↑
279.05 m
↓
↑
279.05 m
↓
N 23.993781°
E 27.710266°		 ← 279.03 m →
77 864 m²		 N 23.993781°
E 27.713013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576976776123047 y=0.431308746337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576976776123047 × 217)
    floor (0.576976776123047 × 131072)
    floor (75625.5)     		tx = 75625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431308746337891 × 217)
    floor (0.431308746337891 × 131072)
    floor (56532.5)     		ty = 56532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75625 / 56532 ti = "17/75625/56532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75625/56532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75625 ÷ 217
    75625 ÷ 131072     		x = 0.576972961425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56532 ÷ 217
    56532 ÷ 131072     		y = 0.431304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576972961425781 × 2 - 1) × π
    0.153945922851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.48363538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431304931640625 × 2 - 1) × π
    0.13739013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.431623844178986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48363538} λ = 0.48363538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431623844178986))-π/2
    2×atan(1.53975581810106)-π/2
    2×0.994805295946396-π/2
    1.98961059189279-1.57079632675     		φ = 0.41881427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48363538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.710266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41881427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.996290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75625 KachelY 56532 0.48363538 0.41881427 27.710266 23.996290
    Oben rechts KachelX + 1 75626 KachelY 56532 0.48368332 0.41881427 27.713013 23.996290
    Unten links KachelX 75625 KachelY + 1 56533 0.48363538 0.41877047 27.710266 23.993781
    Unten rechts KachelX + 1 75626 KachelY + 1 56533 0.48368332 0.41877047 27.713013 23.993781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41881427-0.41877047) × R
    4.37999999999827e-05 × 6371000     		dl = 279.04979999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41881427-0.41877047) × R
    4.37999999999827e-05 × 6371000     		dr = 279.04979999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48363538-0.48368332) × cos(0.41881427) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913571792119825 × 6371000     		do = 279.028340651464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48363538-0.48368332) × cos(0.41877047) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913589603717553 × 6371000     		du = 279.03378077188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41881427)-sin(0.41877047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913571792119825-0.913589603717553)×R²
    abs(0.48368332-0.48363538)×1.78115977276239e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78115977276239e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78115977276239e-05×40589641000000     		ar = 77863.5616977962m²