Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75622 / 57698
↖ ↑ ↗
← N 21.038365°
E 27.702026°		 ← 285.07 m → N 21.038365°
E 27.704773°		 →
↑
285.10 m
↓
↑
285.10 m
↓
N 21.035801°
E 27.702026°		 ← 285.07 m →
81 274 m²		 N 21.035801°
E 27.704773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576953887939453 y=0.440204620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576953887939453 × 217)
    floor (0.576953887939453 × 131072)
    floor (75622.5)     		tx = 75622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440204620361328 × 217)
    floor (0.440204620361328 × 131072)
    floor (57698.5)     		ty = 57698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75622 / 57698 ti = "17/75622/57698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75622/57698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75622 ÷ 217
    75622 ÷ 131072     		x = 0.576950073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57698 ÷ 217
    57698 ÷ 131072     		y = 0.440200805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576950073242188 × 2 - 1) × π
    0.153900146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48349157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440200805664062 × 2 - 1) × π
    0.119598388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.375729419222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48349157} λ = 0.48349157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.375729419222))-π/2
    2×atan(1.45605310048384)-π/2
    2×0.968992526647955-π/2
    1.93798505329591-1.57079632675     		φ = 0.36718873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48349157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.702026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36718873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.038365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75622 KachelY 57698 0.48349157 0.36718873 27.702026 21.038365
    Oben rechts KachelX + 1 75623 KachelY 57698 0.48353951 0.36718873 27.704773 21.038365
    Unten links KachelX 75622 KachelY + 1 57699 0.48349157 0.36714398 27.702026 21.035801
    Unten rechts KachelX + 1 75623 KachelY + 1 57699 0.48353951 0.36714398 27.704773 21.035801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36718873-0.36714398) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dl = 285.102250000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36718873-0.36714398) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dr = 285.102250000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48349157-0.48353951) × cos(0.36718873) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.933340258681886 × 6371000     		do = 285.06613917985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48349157-0.48353951) × cos(0.36714398) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.933356322683314 × 6371000     		du = 285.071045539373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36718873)-sin(0.36714398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933340258681886-0.933356322683314)×R²
    abs(0.48353951-0.48349157)×1.60640014279512e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.60640014279512e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.60640014279512e-05×40589641000000     		ar = 81273.6970996268m²