Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75620 / 61427
↖ ↑ ↗
← N 11.213428°
E 27.696533°		 ← 299.53 m → N 11.213428°
E 27.699280°		 →
↑
299.56 m
↓
↑
299.56 m
↓
N 11.210734°
E 27.696533°		 ← 299.54 m →
89 730 m²		 N 11.210734°
E 27.699280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576938629150391 y=0.468654632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576938629150391 × 217)
    floor (0.576938629150391 × 131072)
    floor (75620.5)     		tx = 75620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468654632568359 × 217)
    floor (0.468654632568359 × 131072)
    floor (61427.5)     		ty = 61427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75620 / 61427 ti = "17/75620/61427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75620/61427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75620 ÷ 217
    75620 ÷ 131072     		x = 0.576934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61427 ÷ 217
    61427 ÷ 131072     		y = 0.468650817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576934814453125 × 2 - 1) × π
    0.15386962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48339570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468650817871094 × 2 - 1) × π
    0.0626983642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.196972720538811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48339570} λ = 0.48339570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.196972720538811))-π/2
    2×atan(1.21771082175771)-π/2
    2×0.883253782274848-π/2
    1.7665075645497-1.57079632675     		φ = 0.19571124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48339570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.696533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19571124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.213428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75620 KachelY 61427 0.48339570 0.19571124 27.696533 11.213428
    Oben rechts KachelX + 1 75621 KachelY 61427 0.48344363 0.19571124 27.699280 11.213428
    Unten links KachelX 75620 KachelY + 1 61428 0.48339570 0.19566422 27.696533 11.210734
    Unten rechts KachelX + 1 75621 KachelY + 1 61428 0.48344363 0.19566422 27.699280 11.210734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19571124-0.19566422) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dl = 299.564420000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19571124-0.19566422) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dr = 299.564420000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48339570-0.48344363) × cos(0.19571124) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.980909606913346 × 6371000     		do = 299.532548813745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48339570-0.48344363) × cos(0.19566422) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.980918749537864 × 6371000     		du = 299.535340624127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19571124)-sin(0.19566422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980909606913346-0.980918749537864)×R²
    abs(0.48344363-0.48339570)×9.14262451789938e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.14262451789938e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.14262451789938e-06×40589641000000     		ar = 89729.712436608m²