Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7562 / 7048
↖ ↑ ↗
← N 24.367114°
W 13.842773°		 ← 2 225.57 m → N 24.367114°
W 13.820801°		 →
↑
2 225.77 m
↓
↑
2 225.77 m
↓
N 24.347097°
W 13.842773°		 ← 2 225.93 m →
4 954 015 m²		 N 24.347097°
W 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461578369140625 y=0.430206298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461578369140625 × 214)
    floor (0.461578369140625 × 16384)
    floor (7562.5)     		tx = 7562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430206298828125 × 214)
    floor (0.430206298828125 × 16384)
    floor (7048.5)     		ty = 7048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7562 / 7048 ti = "14/7562/7048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7562/7048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7562 ÷ 214
    7562 ÷ 16384     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7048 ÷ 214
    7048 ÷ 16384     		y = 0.43017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43017578125 × 2 - 1) × π
    0.1396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.438718505322754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438718505322754))-π/2
    2×atan(1.55071870688116)-π/2
    2×0.998041343829552-π/2
    1.9960826876591-1.57079632675     		φ = 0.42528636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42528636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.367114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7562 KachelY 7048 -0.24160197 0.42528636 -13.842773 24.367114
    Oben rechts KachelX + 1 7563 KachelY 7048 -0.24121848 0.42528636 -13.820801 24.367114
    Unten links KachelX 7562 KachelY + 1 7049 -0.24160197 0.42493700 -13.842773 24.347097
    Unten rechts KachelX + 1 7563 KachelY + 1 7049 -0.24121848 0.42493700 -13.820801 24.347097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42528636-0.42493700) × R
    0.000349359999999965 × 6371000     		dl = 2225.77255999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42528636-0.42493700) × R
    0.000349359999999965 × 6371000     		dr = 2225.77255999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24121848) × cos(0.42528636) × R
    0.000383489999999986 × 0.910920623423066 × 6371000     		do = 2225.57473966318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24121848) × cos(0.42493700) × R
    0.000383489999999986 × 0.91106470735531 × 6371000     		du = 2225.92676765744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42528636)-sin(0.42493700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910920623423066-0.91106470735531)×R²
    abs(-0.24121848--0.24160197)×0.000144083932244077×R²
    0.000383489999999986×0.000144083932244077×6371000²
    0.000383489999999986×0.000144083932244077×40589641000000     		ar = 4954015.00328306m²