Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7562 / 5511
↖ ↑ ↗
← N 75.826350°
W 96.921387°		 ← 299.12 m → N 75.826350°
W 96.910401°		 →
↑
299.18 m
↓
↑
299.18 m
↓
N 75.823660°
W 96.921387°		 ← 299.17 m →
89 499 m²		 N 75.823660°
W 96.910401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230789184570312 y=0.168197631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230789184570312 × 215)
    floor (0.230789184570312 × 32768)
    floor (7562.5)     		tx = 7562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168197631835938 × 215)
    floor (0.168197631835938 × 32768)
    floor (5511.5)     		ty = 5511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7562 / 5511 ti = "15/7562/5511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7562/5511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7562 ÷ 215
    7562 ÷ 32768     		x = 0.23077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5511 ÷ 215
    5511 ÷ 32768     		y = 0.168182373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.5384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.69159731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168182373046875 × 2 - 1) × π
    0.66363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08487163827548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69159731} λ = -1.69159731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08487163827548))-π/2
    2×atan(8.04355893033351)-π/2
    2×1.44710789602416-π/2
    2.89421579204832-1.57079632675     		φ = 1.32341947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69159731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32341947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.826350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7562 KachelY 5511 -1.69159731 1.32341947 -96.921387 75.826350
    Oben rechts KachelX + 1 7563 KachelY 5511 -1.69140557 1.32341947 -96.910401 75.826350
    Unten links KachelX 7562 KachelY + 1 5512 -1.69159731 1.32337251 -96.921387 75.823660
    Unten rechts KachelX + 1 7563 KachelY + 1 5512 -1.69140557 1.32337251 -96.910401 75.823660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32341947-1.32337251) × R
    4.69599999999293e-05 × 6371000     		dl = 299.182159999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32341947-1.32337251) × R
    4.69599999999293e-05 × 6371000     		dr = 299.182159999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69159731--1.69140557) × cos(1.32341947) × R
    0.000191739999999996 × 0.244861514955884 × 6371000     		do = 299.116837357446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69159731--1.69140557) × cos(1.32337251) × R
    0.000191739999999996 × 0.24490704513254 × 6371000     		du = 299.17245590758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32341947)-sin(1.32337251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244861514955884-0.24490704513254)×R²
    abs(-1.69140557--1.69159731)×4.55301766556782e-05×R²
    0.000191739999999996×4.55301766556782e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.55301766556782e-05×40589641000000     		ar = 89498.7415481304m²