Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7562 / 5018
↖ ↑ ↗
← N 57.016814°
W 13.842773°		 ← 1 330.07 m → N 57.016814°
W 13.820801°		 →
↑
1 330.26 m
↓
↑
1 330.26 m
↓
N 57.004850°
W 13.842773°		 ← 1 330.50 m →
1 769 628 m²		 N 57.004850°
W 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461578369140625 y=0.306304931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461578369140625 × 214)
    floor (0.461578369140625 × 16384)
    floor (7562.5)     		tx = 7562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306304931640625 × 214)
    floor (0.306304931640625 × 16384)
    floor (5018.5)     		ty = 5018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7562 / 5018 ti = "14/7562/5018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7562/5018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7562 ÷ 214
    7562 ÷ 16384     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5018 ÷ 214
    5018 ÷ 16384     		y = 0.3062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3062744140625 × 2 - 1) × π
    0.387451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21721375515247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21721375515247))-π/2
    2×atan(3.37776333468931)-π/2
    2×1.28296373018834-π/2
    2.56592746037669-1.57079632675     		φ = 0.99513113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99513113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.016814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7562 KachelY 5018 -0.24160197 0.99513113 -13.842773 57.016814
    Oben rechts KachelX + 1 7563 KachelY 5018 -0.24121848 0.99513113 -13.820801 57.016814
    Unten links KachelX 7562 KachelY + 1 5019 -0.24160197 0.99492233 -13.842773 57.004850
    Unten rechts KachelX + 1 7563 KachelY + 1 5019 -0.24121848 0.99492233 -13.820801 57.004850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99513113-0.99492233) × R
    0.000208800000000009 × 6371000     		dl = 1330.26480000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99513113-0.99492233) × R
    0.000208800000000009 × 6371000     		dr = 1330.26480000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24121848) × cos(0.99513113) × R
    0.000383489999999986 × 0.544392898352499 × 6371000     		do = 1330.06878082575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24121848) × cos(0.99492233) × R
    0.000383489999999986 × 0.544568034263248 × 6371000     		du = 1330.49667547315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99513113)-sin(0.99492233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544392898352499-0.544568034263248)×R²
    abs(-0.24121848--0.24160197)×0.000175135910748137×R²
    0.000383489999999986×0.000175135910748137×6371000²
    0.000383489999999986×0.000175135910748137×40589641000000     		ar = 1769628.29373398m²