Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7562 / 4306
↖ ↑ ↗
← N 64.605038°
W 13.842773°		 ← 1 047.79 m → N 64.605038°
W 13.820801°		 →
↑
1 047.97 m
↓
↑
1 047.97 m
↓
N 64.595613°
W 13.842773°		 ← 1 048.15 m →
1 098 235 m²		 N 64.595613°
W 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461578369140625 y=0.262847900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461578369140625 × 214)
    floor (0.461578369140625 × 16384)
    floor (7562.5)     		tx = 7562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262847900390625 × 214)
    floor (0.262847900390625 × 16384)
    floor (4306.5)     		ty = 4306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7562 / 4306 ti = "14/7562/4306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7562/4306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7562 ÷ 214
    7562 ÷ 16384     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4306 ÷ 214
    4306 ÷ 16384     		y = 0.2628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2628173828125 × 2 - 1) × π
    0.474365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49026233538831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49026233538831))-π/2
    2×atan(4.43825967887308)-π/2
    2×1.3491834725404-π/2
    2.69836694508079-1.57079632675     		φ = 1.12757062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12757062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.605038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7562 KachelY 4306 -0.24160197 1.12757062 -13.842773 64.605038
    Oben rechts KachelX + 1 7563 KachelY 4306 -0.24121848 1.12757062 -13.820801 64.605038
    Unten links KachelX 7562 KachelY + 1 4307 -0.24160197 1.12740613 -13.842773 64.595613
    Unten rechts KachelX + 1 7563 KachelY + 1 4307 -0.24121848 1.12740613 -13.820801 64.595613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12757062-1.12740613) × R
    0.000164489999999962 × 6371000     		dl = 1047.96578999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12757062-1.12740613) × R
    0.000164489999999962 × 6371000     		dr = 1047.96578999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24121848) × cos(1.12757062) × R
    0.000383489999999986 × 0.428855707605151 × 6371000     		do = 1047.78660759678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24121848) × cos(1.12740613) × R
    0.000383489999999986 × 0.429004297627934 × 6371000     		du = 1048.14964493809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12757062)-sin(1.12740613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428855707605151-0.429004297627934)×R²
    abs(-0.24121848--0.24160197)×0.000148590022782447×R²
    0.000383489999999986×0.000148590022782447×6371000²
    0.000383489999999986×0.000148590022782447×40589641000000     		ar = 1098234.74781481m²