Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7562 / 10426
↖ ↑ ↗
← S 43.992814°
W 13.842773°		 ← 1 757.71 m → S 43.992814°
W 13.820801°		 →
↑
1 757.50 m
↓
↑
1 757.50 m
↓
S 44.008620°
W 13.842773°		 ← 1 757.25 m →
3 088 779 m²		 S 44.008620°
W 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461578369140625 y=0.636383056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461578369140625 × 214)
    floor (0.461578369140625 × 16384)
    floor (7562.5)     		tx = 7562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636383056640625 × 214)
    floor (0.636383056640625 × 16384)
    floor (10426.5)     		ty = 10426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7562 / 10426 ti = "14/7562/10426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7562/10426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7562 ÷ 214
    7562 ÷ 16384     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10426 ÷ 214
    10426 ÷ 16384     		y = 0.6363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.272705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.856728270009644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856728270009644))-π/2
    2×atan(0.424548821674624)-π/2
    2×0.40148843327993-π/2
    0.80297686655986-1.57079632675     		φ = -0.76781946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76781946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.992814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7562 KachelY 10426 -0.24160197 -0.76781946 -13.842773 -43.992814
    Oben rechts KachelX + 1 7563 KachelY 10426 -0.24121848 -0.76781946 -13.820801 -43.992814
    Unten links KachelX 7562 KachelY + 1 10427 -0.24160197 -0.76809532 -13.842773 -44.008620
    Unten rechts KachelX + 1 7563 KachelY + 1 10427 -0.24121848 -0.76809532 -13.820801 -44.008620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76781946--0.76809532) × R
    0.000275860000000017 × 6371000     		dl = 1757.50406000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76781946--0.76809532) × R
    0.000275860000000017 × 6371000     		dr = 1757.50406000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24121848) × cos(-0.76781946) × R
    0.000383489999999986 × 0.71942691239738 × 6371000     		do = 1757.71447269325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24121848) × cos(-0.76809532) × R
    0.000383489999999986 × 0.71923528145567 × 6371000     		du = 1757.24627714224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76781946)-sin(-0.76809532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71942691239738-0.71923528145567)×R²
    abs(-0.24121848--0.24160197)×0.000191630941710264×R²
    0.000383489999999986×0.000191630941710264×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191630941710264×40589641000000     		ar = 3088778.91387641m²