Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75619 / 57226
↖ ↑ ↗
← N 22.243345°
E 27.693787°		 ← 282.70 m → N 22.243345°
E 27.696533°		 →
↑
282.68 m
↓
↑
282.68 m
↓
N 22.240802°
E 27.693787°		 ← 282.70 m →
79 914 m²		 N 22.240802°
E 27.696533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576930999755859 y=0.436603546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576930999755859 × 217)
    floor (0.576930999755859 × 131072)
    floor (75619.5)     		tx = 75619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436603546142578 × 217)
    floor (0.436603546142578 × 131072)
    floor (57226.5)     		ty = 57226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75619 / 57226 ti = "17/75619/57226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75619/57226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75619 ÷ 217
    75619 ÷ 131072     		x = 0.576927185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57226 ÷ 217
    57226 ÷ 131072     		y = 0.436599731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576927185058594 × 2 - 1) × π
    0.153854370117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.48334776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436599731445312 × 2 - 1) × π
    0.126800537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.398355635842667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48334776} λ = 0.48334776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398355635842667))-π/2
    2×atan(1.48937361037177)-π/2
    2×0.979507961690297-π/2
    1.95901592338059-1.57079632675     		φ = 0.38821960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48334776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.693787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38821960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.243345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75619 KachelY 57226 0.48334776 0.38821960 27.693787 22.243345
    Oben rechts KachelX + 1 75620 KachelY 57226 0.48339570 0.38821960 27.696533 22.243345
    Unten links KachelX 75619 KachelY + 1 57227 0.48334776 0.38817523 27.693787 22.240802
    Unten rechts KachelX + 1 75620 KachelY + 1 57227 0.48339570 0.38817523 27.696533 22.240802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38821960-0.38817523) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dl = 282.681270000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38821960-0.38817523) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dr = 282.681270000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48334776-0.48339570) × cos(0.38821960) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925584481054841 × 6371000     		do = 282.697325058506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48334776-0.48339570) × cos(0.38817523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925601276012582 × 6371000     		du = 282.702454670902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38821960)-sin(0.38817523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925584481054841-0.925601276012582)×R²
    abs(0.48339570-0.48334776)×1.67949577406512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67949577406512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67949577406512e-05×40589641000000     		ar = 79913.9639088839m²