Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75618 / 61405
↖ ↑ ↗
← N 11.272693°
E 27.691040°		 ← 299.53 m → N 11.272693°
E 27.693787°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
N 11.270000°
E 27.691040°		 ← 299.54 m →
89 711 m²		 N 11.270000°
E 27.693787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576923370361328 y=0.468486785888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576923370361328 × 217)
    floor (0.576923370361328 × 131072)
    floor (75618.5)     		tx = 75618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468486785888672 × 217)
    floor (0.468486785888672 × 131072)
    floor (61405.5)     		ty = 61405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75618 / 61405 ti = "17/75618/61405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75618/61405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75618 ÷ 217
    75618 ÷ 131072     		x = 0.576919555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61405 ÷ 217
    61405 ÷ 131072     		y = 0.468482971191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576919555664062 × 2 - 1) × π
    0.153839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48329982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468482971191406 × 2 - 1) × π
    0.0630340576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.198027332330452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48329982} λ = 0.48329982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198027332330452))-π/2
    2×atan(1.21899571135992)-π/2
    2×0.883770968566628-π/2
    1.76754193713326-1.57079632675     		φ = 0.19674561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48329982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.691040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19674561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.272693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75618 KachelY 61405 0.48329982 0.19674561 27.691040 11.272693
    Oben rechts KachelX + 1 75619 KachelY 61405 0.48334776 0.19674561 27.693787 11.272693
    Unten links KachelX 75618 KachelY + 1 61406 0.48329982 0.19669860 27.691040 11.270000
    Unten rechts KachelX + 1 75619 KachelY + 1 61406 0.48334776 0.19669860 27.693787 11.270000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19674561-0.19669860) × R
    4.70099999999862e-05 × 6371000     		dl = 299.500709999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19674561-0.19669860) × R
    4.70099999999862e-05 × 6371000     		dr = 299.500709999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48329982-0.48334776) × cos(0.19674561) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980707934218841 × 6371000     		do = 299.533446532811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48329982-0.48334776) × cos(0.19669860) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980717122591951 × 6371000     		du = 299.536252898468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19674561)-sin(0.19669860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980707934218841-0.980717122591951)×R²
    abs(0.48334776-0.48329982)×9.18837310970311e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.18837310970311e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.18837310970311e-06×40589641000000     		ar = 89710.9001760917m²