Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75617 / 61404
↖ ↑ ↗
← N 11.275387°
E 27.688294°		 ← 299.47 m → N 11.275387°
E 27.691040°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
N 11.272693°
E 27.688294°		 ← 299.47 m →
89 691 m²		 N 11.272693°
E 27.691040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576915740966797 y=0.468479156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576915740966797 × 217)
    floor (0.576915740966797 × 131072)
    floor (75617.5)     		tx = 75617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468479156494141 × 217)
    floor (0.468479156494141 × 131072)
    floor (61404.5)     		ty = 61404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75617 / 61404 ti = "17/75617/61404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75617/61404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75617 ÷ 217
    75617 ÷ 131072     		x = 0.576911926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61404 ÷ 217
    61404 ÷ 131072     		y = 0.468475341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576911926269531 × 2 - 1) × π
    0.153823852539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.48325189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468475341796875 × 2 - 1) × π
    0.06304931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.198075269230072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48325189} λ = 0.48325189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198075269230072))-π/2
    2×atan(1.21905414763559)-π/2
    2×0.883794474505384-π/2
    1.76758894901077-1.57079632675     		φ = 0.19679262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48325189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.688294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19679262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.275387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75617 KachelY 61404 0.48325189 0.19679262 27.688294 11.275387
    Oben rechts KachelX + 1 75618 KachelY 61404 0.48329982 0.19679262 27.691040 11.275387
    Unten links KachelX 75617 KachelY + 1 61405 0.48325189 0.19674561 27.688294 11.272693
    Unten rechts KachelX + 1 75618 KachelY + 1 61405 0.48329982 0.19674561 27.691040 11.272693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19679262-0.19674561) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dl = 299.500710000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19679262-0.19674561) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dr = 299.500710000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48325189-0.48329982) × cos(0.19679262) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.980698743678425 × 6371000     		do = 299.46815918793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48325189-0.48329982) × cos(0.19674561) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.980707934218841 × 6371000     		du = 299.470965630008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19679262)-sin(0.19674561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980698743678425-0.980707934218841)×R²
    abs(0.48329982-0.48325189)×9.1905404154824e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.1905404154824e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.1905404154824e-06×40589641000000     		ar = 89691.3465814003m²