Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75617 / 56095
↖ ↑ ↗
← N 25.088086°
E 27.688294°		 ← 276.55 m → N 25.088086°
E 27.691040°		 →
↑
276.57 m
↓
↑
276.57 m
↓
N 25.085599°
E 27.688294°		 ← 276.56 m →
76 486 m²		 N 25.085599°
E 27.691040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576915740966797 y=0.427974700927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576915740966797 × 217)
    floor (0.576915740966797 × 131072)
    floor (75617.5)     		tx = 75617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427974700927734 × 217)
    floor (0.427974700927734 × 131072)
    floor (56095.5)     		ty = 56095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75617 / 56095 ti = "17/75617/56095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75617/56095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75617 ÷ 217
    75617 ÷ 131072     		x = 0.576911926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56095 ÷ 217
    56095 ÷ 131072     		y = 0.427970886230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576911926269531 × 2 - 1) × π
    0.153823852539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.48325189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427970886230469 × 2 - 1) × π
    0.144058227539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.45257226931295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48325189} λ = 0.48325189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45257226931295))-π/2
    2×atan(1.57235149967279)-π/2
    2×1.00433301860038-π/2
    2.00866603720076-1.57079632675     		φ = 0.43786971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48325189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.688294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43786971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.088086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75617 KachelY 56095 0.48325189 0.43786971 27.688294 25.088086
    Oben rechts KachelX + 1 75618 KachelY 56095 0.48329982 0.43786971 27.691040 25.088086
    Unten links KachelX 75617 KachelY + 1 56096 0.48325189 0.43782630 27.688294 25.085599
    Unten rechts KachelX + 1 75618 KachelY + 1 56096 0.48329982 0.43782630 27.691040 25.085599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43786971-0.43782630) × R
    4.34100000000215e-05 × 6371000     		dl = 276.565110000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43786971-0.43782630) × R
    4.34100000000215e-05 × 6371000     		dr = 276.565110000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48325189-0.48329982) × cos(0.43786971) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.905656984174664 × 6371000     		do = 276.553255171102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48325189-0.48329982) × cos(0.43782630) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.905675389643908 × 6371000     		du = 276.558875502554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43786971)-sin(0.43782630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905656984174664-0.905675389643908)×R²
    abs(0.48329982-0.48325189)×1.84054692439206e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.84054692439206e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.84054692439206e-05×40589641000000     		ar = 76485.7586430766m²