Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75616 / 57759
↖ ↑ ↗
← N 20.881909°
E 27.685547°		 ← 285.36 m → N 20.881909°
E 27.688294°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
N 20.879343°
E 27.685547°		 ← 285.37 m →
81 431 m²		 N 20.879343°
E 27.688294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576908111572266 y=0.440670013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576908111572266 × 217)
    floor (0.576908111572266 × 131072)
    floor (75616.5)     		tx = 75616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440670013427734 × 217)
    floor (0.440670013427734 × 131072)
    floor (57759.5)     		ty = 57759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75616 / 57759 ti = "17/75616/57759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75616/57759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75616 ÷ 217
    75616 ÷ 131072     		x = 0.576904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57759 ÷ 217
    57759 ÷ 131072     		y = 0.440666198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576904296875 × 2 - 1) × π
    0.15380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48320395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440666198730469 × 2 - 1) × π
    0.118667602539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.372805268345177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48320395} λ = 0.48320395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372805268345177))-π/2
    2×atan(1.45180160057637)-π/2
    2×0.967627197972387-π/2
    1.93525439594477-1.57079632675     		φ = 0.36445807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48320395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36445807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.881909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75616 KachelY 57759 0.48320395 0.36445807 27.685547 20.881909
    Oben rechts KachelX + 1 75617 KachelY 57759 0.48325189 0.36445807 27.688294 20.881909
    Unten links KachelX 75616 KachelY + 1 57760 0.48320395 0.36441328 27.685547 20.879343
    Unten rechts KachelX + 1 75617 KachelY + 1 57760 0.48325189 0.36441328 27.688294 20.879343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36445807-0.36441328) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dl = 285.357090000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36445807-0.36441328) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dr = 285.357090000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48320395-0.48325189) × cos(0.36445807) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.934317065515836 × 6371000     		do = 285.364481129946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48320395-0.48325189) × cos(0.36441328) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.934333029661168 × 6371000     		du = 285.369356990848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36445807)-sin(0.36441328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934317065515836-0.934333029661168)×R²
    abs(0.48325189-0.48320395)×1.59641453325587e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59641453325587e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59641453325587e-05×40589641000000     		ar = 81431.4736189642m²