Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75614 / 56541
↖ ↑ ↗
← N 23.973705°
E 27.680053°		 ← 279.08 m → N 23.973705°
E 27.682800°		 →
↑
279.11 m
↓
↑
279.11 m
↓
N 23.971195°
E 27.680053°		 ← 279.08 m →
77 895 m²		 N 23.971195°
E 27.682800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576892852783203 y=0.431377410888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576892852783203 × 217)
    floor (0.576892852783203 × 131072)
    floor (75614.5)     		tx = 75614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431377410888672 × 217)
    floor (0.431377410888672 × 131072)
    floor (56541.5)     		ty = 56541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75614 / 56541 ti = "17/75614/56541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75614/56541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75614 ÷ 217
    75614 ÷ 131072     		x = 0.576889038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56541 ÷ 217
    56541 ÷ 131072     		y = 0.431373596191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576889038085938 × 2 - 1) × π
    0.153778076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48310807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431373596191406 × 2 - 1) × π
    0.137252807617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.431192412082405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48310807} λ = 0.48310807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431192412082405))-π/2
    2×atan(1.53909166129981)-π/2
    2×0.994608206564717-π/2
    1.98921641312943-1.57079632675     		φ = 0.41842009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48310807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.680053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41842009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.973705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75614 KachelY 56541 0.48310807 0.41842009 27.680053 23.973705
    Oben rechts KachelX + 1 75615 KachelY 56541 0.48315601 0.41842009 27.682800 23.973705
    Unten links KachelX 75614 KachelY + 1 56542 0.48310807 0.41837628 27.680053 23.971195
    Unten rechts KachelX + 1 75615 KachelY + 1 56542 0.48315601 0.41837628 27.682800 23.971195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41842009-0.41837628) × R
    4.3810000000033e-05 × 6371000     		dl = 279.11351000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41842009-0.41837628) × R
    4.3810000000033e-05 × 6371000     		dr = 279.11351000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48310807-0.48315601) × cos(0.41842009) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913732025274151 × 6371000     		do = 279.077279981196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48310807-0.48315601) × cos(0.41837628) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913749825160221 × 6371000     		du = 279.082716524571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41842009)-sin(0.41837628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913732025274151-0.913749825160221)×R²
    abs(0.48315601-0.48310807)×1.77998860699802e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.77998860699802e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.77998860699802e-05×40589641000000     		ar = 77894.9978956968m²