Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75613 / 57225
↖ ↑ ↗
← N 22.245887°
E 27.677307°		 ← 282.63 m → N 22.245887°
E 27.680053°		 →
↑
282.68 m
↓
↑
282.68 m
↓
N 22.243345°
E 27.677307°		 ← 282.64 m →
79 896 m²		 N 22.243345°
E 27.680053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576885223388672 y=0.436595916748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576885223388672 × 217)
    floor (0.576885223388672 × 131072)
    floor (75613.5)     		tx = 75613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436595916748047 × 217)
    floor (0.436595916748047 × 131072)
    floor (57225.5)     		ty = 57225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75613 / 57225 ti = "17/75613/57225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75613/57225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75613 ÷ 217
    75613 ÷ 131072     		x = 0.576881408691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57225 ÷ 217
    57225 ÷ 131072     		y = 0.436592102050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576881408691406 × 2 - 1) × π
    0.153762817382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.48306014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436592102050781 × 2 - 1) × π
    0.126815795898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.398403572742287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48306014} λ = 0.48306014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398403572742287))-π/2
    2×atan(1.4894450080363)-π/2
    2×0.979530146314217-π/2
    1.95906029262843-1.57079632675     		φ = 0.38826397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48306014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.677307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38826397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.245887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75613 KachelY 57225 0.48306014 0.38826397 27.677307 22.245887
    Oben rechts KachelX + 1 75614 KachelY 57225 0.48310807 0.38826397 27.680053 22.245887
    Unten links KachelX 75613 KachelY + 1 57226 0.48306014 0.38821960 27.677307 22.243345
    Unten rechts KachelX + 1 75614 KachelY + 1 57226 0.48310807 0.38821960 27.680053 22.243345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38826397-0.38821960) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dl = 282.681270000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38826397-0.38821960) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dr = 282.681270000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48306014-0.48310807) × cos(0.38826397) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.925567684274905 × 6371000     		do = 282.63322697243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48306014-0.48310807) × cos(0.38821960) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.925584481054841 × 6371000     		du = 282.638356071249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38826397)-sin(0.38821960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925567684274905-0.925584481054841)×R²
    abs(0.48310807-0.48306014)×1.67967799360458e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.67967799360458e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.67967799360458e-05×40589641000000     		ar = 79895.8445080067m²