Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75613 / 56492
↖ ↑ ↗
← N 24.096618°
E 27.677307°		 ← 278.75 m → N 24.096618°
E 27.680053°		 →
↑
278.79 m
↓
↑
278.79 m
↓
N 24.094111°
E 27.677307°		 ← 278.76 m →
77 715 m²		 N 24.094111°
E 27.680053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576885223388672 y=0.431003570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576885223388672 × 217)
    floor (0.576885223388672 × 131072)
    floor (75613.5)     		tx = 75613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431003570556641 × 217)
    floor (0.431003570556641 × 131072)
    floor (56492.5)     		ty = 56492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75613 / 56492 ti = "17/75613/56492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75613/56492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75613 ÷ 217
    75613 ÷ 131072     		x = 0.576881408691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56492 ÷ 217
    56492 ÷ 131072     		y = 0.430999755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576881408691406 × 2 - 1) × π
    0.153762817382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.48306014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430999755859375 × 2 - 1) × π
    0.13800048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.433541320163788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48306014} λ = 0.48306014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433541320163788))-π/2
    2×atan(1.54271109533581)-π/2
    2×0.995680830073872-π/2
    1.99136166014774-1.57079632675     		φ = 0.42056533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48306014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.677307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42056533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.096618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75613 KachelY 56492 0.48306014 0.42056533 27.677307 24.096618
    Oben rechts KachelX + 1 75614 KachelY 56492 0.48310807 0.42056533 27.680053 24.096618
    Unten links KachelX 75613 KachelY + 1 56493 0.48306014 0.42052157 27.677307 24.094111
    Unten rechts KachelX + 1 75614 KachelY + 1 56493 0.48310807 0.42052157 27.680053 24.094111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42056533-0.42052157) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dl = 278.794960000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42056533-0.42052157) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dr = 278.794960000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48306014-0.48310807) × cos(0.42056533) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.912858275196959 × 6371000     		do = 278.75225601629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48306014-0.48310807) × cos(0.42052157) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.912876140506255 × 6371000     		du = 278.757711403403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42056533)-sin(0.42052157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912858275196959-0.912876140506255)×R²
    abs(0.48310807-0.48306014)×1.786530929615e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.786530929615e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.786530929615e-05×40589641000000     		ar = 77715.4845456551m²