Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7561 / 5001
↖ ↑ ↗
← N 57.219608°
W 13.864746°		 ← 1 322.84 m → N 57.219608°
W 13.842773°		 →
↑
1 323 m
↓
↑
1 323 m
↓
N 57.207710°
W 13.864746°		 ← 1 323.27 m →
1 750 403 m²		 N 57.207710°
W 13.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461517333984375 y=0.305267333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461517333984375 × 214)
    floor (0.461517333984375 × 16384)
    floor (7561.5)     		tx = 7561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305267333984375 × 214)
    floor (0.305267333984375 × 16384)
    floor (5001.5)     		ty = 5001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7561 / 5001 ti = "14/7561/5001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7561/5001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7561 ÷ 214
    7561 ÷ 16384     		x = 0.46148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5001 ÷ 214
    5001 ÷ 16384     		y = 0.30523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.0770263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24198547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30523681640625 × 2 - 1) × π
    0.3895263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22373317350079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24198547} λ = -0.24198547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22373317350079))-π/2
    2×atan(3.39985632542323)-π/2
    2×1.284733445574-π/2
    2.56946689114801-1.57079632675     		φ = 0.99867056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24198547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.864746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99867056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.219608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7561 KachelY 5001 -0.24198547 0.99867056 -13.864746 57.219608
    Oben rechts KachelX + 1 7562 KachelY 5001 -0.24160197 0.99867056 -13.842773 57.219608
    Unten links KachelX 7561 KachelY + 1 5002 -0.24198547 0.99846290 -13.864746 57.207710
    Unten rechts KachelX + 1 7562 KachelY + 1 5002 -0.24160197 0.99846290 -13.842773 57.207710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99867056-0.99846290) × R
    0.000207659999999943 × 6371000     		dl = 1323.00185999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99867056-0.99846290) × R
    0.000207659999999943 × 6371000     		dr = 1323.00185999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24198547--0.24160197) × cos(0.99867056) × R
    0.000383500000000009 × 0.541420513256682 × 6371000     		do = 1322.84109949905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24198547--0.24160197) × cos(0.99846290) × R
    0.000383500000000009 × 0.541595092129933 × 6371000     		du = 1323.26764430662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99867056)-sin(0.99846290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541420513256682-0.541595092129933)×R²
    abs(-0.24160197--0.24198547)×0.000174578873251563×R²
    0.000383500000000009×0.000174578873251563×6371000²
    0.000383500000000009×0.000174578873251563×40589641000000     		ar = 1750403.40119774m²