Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75609 / 61239
↖ ↑ ↗
← N 11.719478°
E 27.666321°		 ← 299.06 m → N 11.719478°
E 27.669068°		 →
↑
298.99 m
↓
↑
298.99 m
↓
N 11.716789°
E 27.666321°		 ← 299.06 m →
89 416 m²		 N 11.716789°
E 27.669068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576854705810547 y=0.467220306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576854705810547 × 217)
    floor (0.576854705810547 × 131072)
    floor (75609.5)     		tx = 75609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467220306396484 × 217)
    floor (0.467220306396484 × 131072)
    floor (61239.5)     		ty = 61239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75609 / 61239 ti = "17/75609/61239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75609/61239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75609 ÷ 217
    75609 ÷ 131072     		x = 0.576850891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61239 ÷ 217
    61239 ÷ 131072     		y = 0.467216491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576850891113281 × 2 - 1) × π
    0.153701782226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.48286839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467216491699219 × 2 - 1) × π
    0.0655670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.205984857667381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48286839} λ = 0.48286839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205984857667381))-π/2
    2×atan(1.22873459794646)-π/2
    2×0.88766989989038-π/2
    1.77533979978076-1.57079632675     		φ = 0.20454347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48286839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.666321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20454347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.719478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75609 KachelY 61239 0.48286839 0.20454347 27.666321 11.719478
    Oben rechts KachelX + 1 75610 KachelY 61239 0.48291633 0.20454347 27.669068 11.719478
    Unten links KachelX 75609 KachelY + 1 61240 0.48286839 0.20449654 27.666321 11.716789
    Unten rechts KachelX + 1 75610 KachelY + 1 61240 0.48291633 0.20449654 27.669068 11.716789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20454347-0.20449654) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dl = 298.991030000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20454347-0.20449654) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dr = 298.991030000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48286839-0.48291633) × cos(0.20454347) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.97915381700402 × 6371000     		do = 299.058779132428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48286839-0.48291633) × cos(0.20449654) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979163348355245 × 6371000     		du = 299.061690252429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20454347)-sin(0.20449654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97915381700402-0.979163348355245)×R²
    abs(0.48291633-0.48286839)×9.53135122416793e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.53135122416793e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.53135122416793e-06×40589641000000     		ar = 89416.3276191445m²