Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75609 / 56519
↖ ↑ ↗
← N 24.028905°
E 27.666321°		 ← 278.96 m → N 24.028905°
E 27.669068°		 →
↑
278.92 m
↓
↑
278.92 m
↓
N 24.026397°
E 27.666321°		 ← 278.96 m →
77 808 m²		 N 24.026397°
E 27.669068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576854705810547 y=0.431209564208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576854705810547 × 217)
    floor (0.576854705810547 × 131072)
    floor (75609.5)     		tx = 75609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431209564208984 × 217)
    floor (0.431209564208984 × 131072)
    floor (56519.5)     		ty = 56519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75609 / 56519 ti = "17/75609/56519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75609/56519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75609 ÷ 217
    75609 ÷ 131072     		x = 0.576850891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56519 ÷ 217
    56519 ÷ 131072     		y = 0.431205749511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576850891113281 × 2 - 1) × π
    0.153701782226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.48286839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431205749511719 × 2 - 1) × π
    0.137588500976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.432247023874046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48286839} λ = 0.48286839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432247023874046))-π/2
    2×atan(1.54071566170871)-π/2
    2×0.995089919559005-π/2
    1.99017983911801-1.57079632675     		φ = 0.41938351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48286839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.666321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41938351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.028905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75609 KachelY 56519 0.48286839 0.41938351 27.666321 24.028905
    Oben rechts KachelX + 1 75610 KachelY 56519 0.48291633 0.41938351 27.669068 24.028905
    Unten links KachelX 75609 KachelY + 1 56520 0.48286839 0.41933973 27.666321 24.026397
    Unten rechts KachelX + 1 75610 KachelY + 1 56520 0.48291633 0.41933973 27.669068 24.026397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41938351-0.41933973) × R
    4.37799999999933e-05 × 6371000     		dl = 278.922379999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41938351-0.41933973) × R
    4.37799999999933e-05 × 6371000     		dr = 278.922379999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48286839-0.48291633) × cos(0.41938351) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913340147023842 × 6371000     		do = 278.957590276606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48286839-0.48291633) × cos(0.41933973) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913357973253578 × 6371000     		du = 278.963034866014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41938351)-sin(0.41933973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913340147023842-0.913357973253578)×R²
    abs(0.48291633-0.48286839)×1.78262297355625e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78262297355625e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78262297355625e-05×40589641000000     		ar = 77808.2743203656m²