Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75609 / 55645
↖ ↑ ↗
← N 26.202270°
E 27.666321°		 ← 274.04 m → N 26.202270°
E 27.669068°		 →
↑
274.02 m
↓
↑
274.02 m
↓
N 26.199806°
E 27.666321°		 ← 274.05 m →
75 092 m²		 N 26.199806°
E 27.669068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576854705810547 y=0.424541473388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576854705810547 × 217)
    floor (0.576854705810547 × 131072)
    floor (75609.5)     		tx = 75609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424541473388672 × 217)
    floor (0.424541473388672 × 131072)
    floor (55645.5)     		ty = 55645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75609 / 55645 ti = "17/75609/55645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75609/55645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75609 ÷ 217
    75609 ÷ 131072     		x = 0.576850891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55645 ÷ 217
    55645 ÷ 131072     		y = 0.424537658691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576850891113281 × 2 - 1) × π
    0.153701782226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.48286839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424537658691406 × 2 - 1) × π
    0.150924682617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.474143874141975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48286839} λ = 0.48286839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474143874141975))-π/2
    2×atan(1.60663812408131)-π/2
    2×1.01405610443164-π/2
    2.02811220886327-1.57079632675     		φ = 0.45731588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48286839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.666321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45731588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.202270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75609 KachelY 55645 0.48286839 0.45731588 27.666321 26.202270
    Oben rechts KachelX + 1 75610 KachelY 55645 0.48291633 0.45731588 27.669068 26.202270
    Unten links KachelX 75609 KachelY + 1 55646 0.48286839 0.45727287 27.666321 26.199806
    Unten rechts KachelX + 1 75610 KachelY + 1 55646 0.48291633 0.45727287 27.669068 26.199806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45731588-0.45727287) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dl = 274.016710000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45731588-0.45727287) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dr = 274.016710000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48286839-0.48291633) × cos(0.45731588) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897240878284319 × 6371000     		do = 274.040459208376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48286839-0.48291633) × cos(0.45727287) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897259868149965 × 6371000     		du = 274.046259202143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45731588)-sin(0.45727287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897240878284319-0.897259868149965)×R²
    abs(0.48291633-0.48286839)×1.89898656461907e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89898656461907e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89898656461907e-05×40589641000000     		ar = 75092.459698309m²