Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75607 / 56552
↖ ↑ ↗
← N 23.946096°
E 27.660828°		 ← 279.08 m → N 23.946096°
E 27.663574°		 →
↑
279.11 m
↓
↑
279.11 m
↓
N 23.943586°
E 27.660828°		 ← 279.08 m →
77 895 m²		 N 23.943586°
E 27.663574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576839447021484 y=0.431461334228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576839447021484 × 217)
    floor (0.576839447021484 × 131072)
    floor (75607.5)     		tx = 75607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431461334228516 × 217)
    floor (0.431461334228516 × 131072)
    floor (56552.5)     		ty = 56552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75607 / 56552 ti = "17/75607/56552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75607/56552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75607 ÷ 217
    75607 ÷ 131072     		x = 0.576835632324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56552 ÷ 217
    56552 ÷ 131072     		y = 0.43145751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576835632324219 × 2 - 1) × π
    0.153671264648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.48277252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43145751953125 × 2 - 1) × π
    0.1370849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.430665106186584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48277252} λ = 0.48277252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.430665106186584))-π/2
    2×atan(1.53828030312838)-π/2
    2×0.994367272622031-π/2
    1.98873454524406-1.57079632675     		φ = 0.41793822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48277252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.660828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41793822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.946096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75607 KachelY 56552 0.48277252 0.41793822 27.660828 23.946096
    Oben rechts KachelX + 1 75608 KachelY 56552 0.48282045 0.41793822 27.663574 23.946096
    Unten links KachelX 75607 KachelY + 1 56553 0.48277252 0.41789441 27.660828 23.943586
    Unten rechts KachelX + 1 75608 KachelY + 1 56553 0.48282045 0.41789441 27.663574 23.943586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41793822-0.41789441) × R
    4.3810000000033e-05 × 6371000     		dl = 279.11351000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41793822-0.41789441) × R
    4.3810000000033e-05 × 6371000     		dr = 279.11351000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48277252-0.48282045) × cos(0.41793822) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.913927711322595 × 6371000     		do = 279.078821202892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48277252-0.48282045) × cos(0.41789441) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.913945491916866 × 6371000     		du = 279.084250721254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41793822)-sin(0.41789441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913927711322595-0.913945491916866)×R²
    abs(0.48282045-0.48277252)×1.77805942710441e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77805942710441e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77805942710441e-05×40589641000000     		ar = 77895.4270911099m²