Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75605 / 56517
↖ ↑ ↗
← N 24.033923°
E 27.655334°		 ← 278.95 m → N 24.033923°
E 27.658081°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
N 24.031414°
E 27.655334°		 ← 278.95 m →
77 823 m²		 N 24.031414°
E 27.658081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576824188232422 y=0.431194305419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576824188232422 × 217)
    floor (0.576824188232422 × 131072)
    floor (75605.5)     		tx = 75605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431194305419922 × 217)
    floor (0.431194305419922 × 131072)
    floor (56517.5)     		ty = 56517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75605 / 56517 ti = "17/75605/56517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75605/56517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75605 ÷ 217
    75605 ÷ 131072     		x = 0.576820373535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56517 ÷ 217
    56517 ÷ 131072     		y = 0.431190490722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576820373535156 × 2 - 1) × π
    0.153640747070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.48267664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431190490722656 × 2 - 1) × π
    0.137619018554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.432342897673286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48267664} λ = 0.48267664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432342897673286))-π/2
    2×atan(1.54086338305394)-π/2
    2×0.995133701399233-π/2
    1.99026740279847-1.57079632675     		φ = 0.41947108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48267664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.655334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41947108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.033923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75605 KachelY 56517 0.48267664 0.41947108 27.655334 24.033923
    Oben rechts KachelX + 1 75606 KachelY 56517 0.48272458 0.41947108 27.658081 24.033923
    Unten links KachelX 75605 KachelY + 1 56518 0.48267664 0.41942729 27.655334 24.031414
    Unten rechts KachelX + 1 75606 KachelY + 1 56518 0.48272458 0.41942729 27.658081 24.031414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41947108-0.41942729) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dl = 278.986089999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41947108-0.41942729) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dr = 278.986089999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48267664-0.48272458) × cos(0.41947108) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913304485239866 × 6371000     		do = 278.946698249845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48267664-0.48272458) × cos(0.41942729) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913322319043518 × 6371000     		du = 278.952145152523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41947108)-sin(0.41942729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913304485239866-0.913322319043518)×R²
    abs(0.48272458-0.48267664)×1.78338036527226e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78338036527226e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78338036527226e-05×40589641000000     		ar = 77823.0084806802m²